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- 2021-04-25 发布
第八章 立体几何
第一节 空间几何体及其表面积和体积
题型88 简单凸多面体的表面积与体积
2013年
1.（2013江苏8）如图，在三棱柱中，分别是
的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .
2.（2013广东文18）如图4，在边长为的等边三角形中，，分别是，上的点，， 是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．
(1) 证明：；
(2) 证明：；
(3) 当时，求三棱锥的体积．
3. (2013安徽文18）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，.已知，.
（1）证明：；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积.
4.（2013湖北文20）如图，某地质队自水平地面，，三处垂直向地下钻探，自点向下钻到处发现矿藏，再继续下钻到处后下面已无矿，从而得到在处正下方的矿层厚度为．同样可得在，处正下方的矿层厚度分别为，，且．过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．
（1） 证明：中截面是梯形；
第20题图
（2） 在中，记，边上的高为，面积为．在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算． 已知，试判断与的大小关系，并加以证明．
5．(2013福建文18）如图，在四棱柱中，
（1）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（2）若为的中点，求证：
（3）求三棱锥的体积.
2014年
1.（2014新课标Ⅱ文7）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
2. （2014山东文13） 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .
3.（2014陕西文17）（本小题满分12分）四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱于点.
（1）求四面体的体积；
（2）求证：四边形是矩形.
4.（2014福建文19） 如图所示，三棱锥中，.
（1）求证：平面；
（2）若，为中点，求三棱锥的体积.
5.（2014江西文19）如图所示，三棱柱中，，.
（1）求证：；
（2）若，，，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值.
2015年
1.（2015新课标2文19）如图所示，长方体中，，，
，点，分别在， 上，.过点，的平面与此长
方体的面相交，交线围成一个正方形.
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
1. 解析 （1）交线围成的正方形如图所示.
（2）作，垂足为，
则，，.
因为为正方形，所以.
于是，，.
因为长方体被平面分成两个高为的直棱柱，
所以其体积的比值为或.
评注 文科对立体几何的考查主要是线面关系的推理证明，画图及简单推理，重点考查多边形，多面体的体积计算，注意在计算中能从不同角度看图的能力.
2016年
1.（2016全国丙文19）如图所示，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.
（1）证明平面；
（2）求四面体的体积.
1.解析 （1）取中点，连接、，因为是中点，，且，又，且，所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又平面，平面，所以平面.
(2)由(1) 平面.所以.
所以.
2.（2016江苏17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍.
（1）若，，则仓库的容积是多少；
（2）正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
2.解析 （1），则，
，
，
，故仓库的容积为.
（2）设，仓库的容积为，
则，，，
，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，取到最大值，即时，仓库的容积最大.
3.（2016全国乙文18）如图所示，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点.联结并延长交于点.
（1）求证：是的中点；
（2）在题图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积.
3. 解析 （1）由题意可得为正三角形，故.
因为在平面内的正投影为点，故平面.
又平面，所以.
因为在平面内的正投影为点，故平面.
又平面，所以.
因为，，，平面，
所以平面.又平面，所以.
因为，所以是的中点.
（2）过作交于，则即为所要寻找的正投影.
理由如下，因为，，故.同理，
又，平面，所以平面，
故即为点在平面内的正投影.
所以.
在中，，，，故由等面积法知.
由勾股定理知，由为等腰直角三角形知，故.
4.（2016全国甲文19）如图所示，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上， ，交于点.将沿折到的位置.
（1）证明：；
（2）若 ，求五棱锥的体积.
4.解析 （1）证明：因为四边形为菱形，所以，所以，
所以，所以.又因为，所以，所以.
所以.
（2）由得，
由得
所以
于是故
由（1）知，又，
所以平面，于是
又由，所以平面.
又由得，
五边形的面积
.
2017年
1.（2017全国1文18）如图所示，在四棱锥中，，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.
1.解析 （1）因为，所以.
因为，所以，因为，所以．
又，所以平面.
因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，因为平面，所以平面平面．
如图所示，取中点.因为，，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
由，得四边形为平行四边形.又因为平面，得，即四边形是矩形.
不妨设，则，所以，且．
因此四棱锥的体积为，解得．所以．
2.（2017全国2文18）如图所示，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.
（1）证明：直线平面；
（2）若面积为，求四棱锥的体积.
2.解析 （1）在平面内，因为，所以.
又平面，平面，故平面.
（2）取的中点，联结，.
由，及，，得四边形为正方形，则.
因为侧面是等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因为平面，所以平面.因为平面，所以.
设，则，，，.
取的中点，联结，则，所以.
因为的面积为，所以，解得（舍去），，于是，，.所以四棱锥的体积.
题型89 旋转体的表面积、体积与球面距离
2013年
1.（2013湖北文16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，
用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一
尺八寸.
若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
2014年
1.（2014陕西文5）将边长为的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）.
A. B. C. D.
2.（2014福建文3）以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A. B. C. D.
3.（2014湖北文10）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是
我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以
高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似
公式. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为. 那么，近似公式
相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）.
A． B． C． D．
4.（2014江苏8）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ．
2015年
1.(2015 全国1卷文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）.
A. 斛 B. 斛
C. 斛 D. 斛
1. 解析 由，得..
.故选B.
2.（2015山东文9）已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
2.解析 由题意，可知等腰直角三角形的斜边长为，斜边上的高为，所形成的几何体为以为底面半径，为高的两个相同的圆锥组成的组合体，所以所求体积
.故选B.
3.（2015江苏9）现有橡皮泥制作的底面半径为，高为的圆锥和底面半径为，高为的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ．
3. 解析 原来的总体积为，设新的半径为，
故变化后体积，计算得，
从而．
2016年
1.（2016上海文19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为，长为，其中与在平面的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
1.解析 （1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径.
圆柱的体积，
圆柱的侧面积.
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，
所以或其补角为与所成的角.
由长为，可知，
由长为，可知，，
所以异面直线与所成的角的大小为.
2017年
1.（2017全国3文9）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.
A． B．
C． D．
1.解析 由圆柱的外接球半径公式可知，，即，解得，
所以圆柱的体积.故选B.
评注 球类问题是近几年高考的一个热点，也是难点.解此类问题，关键在于根据几何体选择对应的公式套用即可快速求得结果.
题型90 几何体的外接球与内切球
2013年
1. （2013辽宁文10） 已知三棱柱的个顶点都在球的球面 上，若
，，，，则球的半径为（ ）.
A. B. C. D.
2. (2013天津文10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为，则正方
体的棱长为 .
2014年
1.（2014大纲文10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）.
A． B． C． D．
2015年
1.（2015新课标2文10）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
1. 解析 根据题意，可得图如下，
当点位于垂直于面的直径端点时，
三棱锥的体积最大，则可设球的半径为，
此时，
故，则球的表面积为.
故选C．
2016年
1.（2016全国甲文4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ).
A. B. C. D.
1.A 解析 设球的半径为，由题意得，正方体的边长2，故体对角线，所以，故球表面积.故选A.
2.（2016全国丙文11）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若，，， 则的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
2.B 解析 如图所示，假设在直三棱柱中，有一个球与平面，平面，平面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为，
则且，得.因此，直三棱柱内球的半径最大值为，则.故选B.
3.（2016上海文10）已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于 .
3. 解析 不妨设，则，
故，因此.
2017年
1.（2017全国3文9）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.
A． B．
C． D．
1.解析 由圆柱的外接球半径公式可知，，即，解得，
所以圆柱的体积.故选B.
评注 球类问题是近几年高考的一个热点，也是难点.解此类问题，关键在于根据几何体选择对应的公式套用即可快速求得结果.
2.（2017全国1文16）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径，若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为 .
2.解析 取的中点，即球心.联结，，
因为，，所以.
因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.
设，，解得，所以球的表面积为.
3.（2017全国2文15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 .
3.解析 球的直径是长方体的体对角线，所以，.
4.（2017天津文11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的体积为 .
4.解析 设正方体的边长为，则，，又，所以.
5.（2017江苏6）如图所示，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 ．
O
O1
O2
5.解析 设球的半径为，由题意，，所以．