2020届二轮复习（文）专题五第1讲　直线与圆课件（44张） 44页

专题五　解析几何 第1讲　直线与圆 总纲目录 考点三　直线、圆的位置关系 考点二　圆的方程及应用 考点一　直线的方程 考点一　直线的方程 1 .过点(5,2),且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的2倍的直线方程是   (　　) A.2 x + y -12=0 B.2 x + y -12=0或2 x -5 y =0 C. x -2 y -1=0 D. x +2 y -9=0或2 x -5 y =0 D 答案    D　 当直线经过坐标原点时,易得直线方程为 y =   x ,即2 x -5 y =0;当直线 不经过坐标原点时,设直线在 y 轴上的截距为 b ( b ≠ 0),则直线方程为   +   =1, 又直线过点(5,2),所以   +   =1,解得 b =   ,故所求的直线方程是   +   =1,即 x +2 y -9=0. 综上,所求直线方程为2 x -5 y =0或 x +2 y -9=0. 2 .若直线 l 1 : x + ay +6=0与 l 2 :( a -2) x +3 y +2 a =0平行,则 l 1 与 l 2 间的距离为   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   B 答案    B 　由 l 1 ∥ l 2 得( a -2) a =1 × 3,且 a × 2 a ≠ 3 × 6,解得 a =-1,∴ l 1 : x - y +6=0, l 2 : x - y +   =0, ∴ l 1 与 l 2 间的距离 d =   =   . 3 .已知 a ≠ 0,直线 ax +( b +2) y +4=0与直线 ax +( b -2) y -3=0互相垂直,则 ab 的最大值 为   (　　) A.0　　B.2　　C.4　　D.   B 答案    B 　解法一:若 b =2,则两直线方程分别为 y =-   x -1和 x =   ,此时两直线相 交但不垂直;若 b =-2,则两直线方程分别为 x =-   和 y =   x -   ,此时两直线相交但 不垂直;若 b ≠ ± 2,则两直线方程分别为 y =-   x -   和 y =-   x +   ,由两直线 垂直得,-   ·   =-1,即 a 2 + b 2 =4,因为 a 2 + b 2 =4 ≥ 2 ab ,当且仅当 a = b 时等号成 立,所以 ab ≤ 2,所以 ab 的最大值为2. 解法二:由两直线垂直,得 a 2 +( b +2)( b -2)=0,即 a 2 + b 2 =4.因为 a 2 + b 2 =4 ≥ 2 ab ,当且 仅当 a = b 时等号成立,所以 ab 的最大值为2. 4 .过点 P (-2,2)作直线 l ,使直线 l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为 8,这样的直线 l 一共有   (　　) A.3条　　B.2条 C.1条　　D.0条 C 答案    C 　由题意可设直线 l 的方程为   +   =1( a <0, b >0),则   解得- a = b =4,故满足条件的直线 l 一共有1条. 总结提升 解决直线方程问题的几个注意点 (1)求解两条直线平行的问题时,在利用 A 1 B 2 - A 2 B 1 =0建立方程求出参数的值后, 要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性. (2)要注意直线方程每种形式的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不 能与 x 轴垂直.而截距式方程既不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐 标轴的直线. (3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在. 考点二　圆的方程及应用 1 .(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方 程为 　　　　　　　     . 答案      x 2 + y 2 -2 x =0 解析 　本题主要考查圆的方程. 解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形是等腰直角三角形,其外接圆 的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为( x -1) 2 + y 2 =1,即 x 2 + y 2 -2 x =0. 解法二:设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0, 由已知条件可得   解得   所以所求圆的方程为 x 2 + y 2 -2 x =0. 方法总结 　常见的求圆的方程的方法: (1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程. (2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准 方程求解;若所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般 方程求解. 2 .(2019课标全国Ⅲ文,21,12分)已知曲线 C : y =   , D 为直线 y =-   上的动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A , B . (1)证明:直线 AB 过定点; (2)若以 E   为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求该圆的 方程. 解析 　本题将直线、抛物线、圆的相关内容有机结合,考查三者之间的位置 关系,考查学生分析问题与解决问题的能力,对逻辑推理与数学运算素养有较 高要求. (1)设 D   , A ( x 1 , y 1 ),则   =2 y 1 . 由于 y '= x ,所以切线 DA 的斜率为 x 1 ,故   = x 1 . 整理得2 tx 1 -2 y 1 +1=0. 设 B ( x 2 , y 2 ),同理可得2 tx 2 -2 y 2 +1=0. 故直线 AB 的方程为2 tx -2 y +1=0. 所以直线 AB 过定点   . (2)由(1)得直线 AB 的方程为 y = tx +   . 由   可得 x 2 -2 tx -1=0. 于是 x 1 + x 2 =2 t , y 1 + y 2 = t ( x 1 + x 2 )+1=2 t 2 +1. 设 M 为线段 AB 的中点,则 M   . 由于   ⊥   ,而   =( t , t 2 -2),   与向量(1, t )平行, 所以 t +( t 2 -2) t =0.解得 t =0或 t = ± 1. 当 t =0时,|   |=2,所求圆的方程为 x 2 +   =4; 当 t = ± 1时,|   |=   ,所求圆的方程为 x 2 +   =2. 思路分析    (1)直线与开口向上的抛物线相切,宜用导数法求斜率,如果联立 方程利用判别式求解,则运算量偏大.求切点弦方程,可仿照过圆外一点作圆 的两条切线,求切点弦的方法进行. (2)切点是弦中点,利用关于弦中点的“点差法”,以及“过切点的半径垂直 于该切线”,即可获得等量关系,进而求得圆的方程. 一题多解     (1)依题意,可设 AB : y = kx + b , D   , A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )( x 1 ≠ x 2 ). 联立   消去 y 得 x 2 -2 kx -2 b =0. Δ =4 k 2 +8 b >0, x 1 + x 2 =2 k , x 1 x 2 =-2 b . 又直线 DA 与抛物线相切,则 x 1 =   , 所以   -2 tx 1 -1=0,同理   -2 tx 2 -1=0. 所以2 k = x 1 + x 2 =2 t ,-2 b = x 1 · x 2 =-1,所以 k = t , b =   , 则直线 AB : y = tx +   ,必过定点 F   . (2)设 M 为线段 AB 的中点,由(1)可知 M   . 所以   =( t , t 2 -2),   =( t , t 2 ), 又 EM ⊥ FM ,则 t · t +( t 2 -2)· t 2 =0, 解得 t =0或 t =1或 t =-1. 当 t =0时,|   |=2,所求圆的方程为 x 2 +   =4; 当 t = ± 1时,|   |=   ,所求圆的方程为 x 2 +   =2. 总结提升 求圆的方程的两种方法 (1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求 出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程. (2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程(组),求得各 系数,进而求出圆的方程. 1 .(2019河北石家庄一模,8)已知圆 C 截两坐标轴所得弦长相等,且圆 C 过点(-1, 0)和(2,3),则圆 C 的半径为   (　　) A.8　    B.2   　    C.5　    D.   D 答案    D 　解法一:设圆的标准方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0). ∵圆 C 经过点(-1,0)和(2,3),∴   ∴ a + b -2=0,① 又圆 C 截两坐标轴所得弦长相等,∴| a |=| b |,② 由①②得 a = b =1,∴圆 C 的半径为   ,故选D. 解法二:∵圆 C 经过点 M (-1,0)和 N (2,3),∴圆心 C 在线段 MN 的垂直平分线 y =- x + 2上,又圆 C 截两坐标轴所得弦长相等,∴圆心 C 到两坐标轴的距离相等,∴圆心 C 在直线 y = ± x 上,∵直线 y =- x 和直线 y =- x +2平行,∴圆心 C 为直线 y = x 和直线 y =- x +2的交点(1,1),∴圆 C 的半径为   .故选D. 2 .(2019河北五个一名校联盟一诊,7)已知点 P 为圆 C :( x -1) 2 +( y -2) 2 =4上一点, A (0,-6), B (4,0),则|   +   |的最大值为(　　) A.   +2　    B.   +4 C.2   +4　    D.2   +2 C 答案    C 　取 AB 的中点 D (2,-3),则   +   =2   ,|   +   |=|2   |,|   |的最大值 为圆心 C (1,2)到 D (2,-3)的距离 d 再加半径 r ,又 d =   =   ,∴ d + r =   +2, ∴|2   |的最大值为2   +4.故选C. 思路分析    取 AB 的中点 D ,则   +   =2   ,将|   +   |的最大值转化为圆心 C 到 D 的距离加半径再乘2. 3 .(2019湖北四地七校考试联盟期末,15)已知圆 C 经过直线 x + y +2=0与圆 x 2 + y 2 = 4的交点,且圆 C 的圆心在直线2 x - y -3=0上,则圆 C 的方程为 　　　　　　　     . 答案　 ( x -3) 2 +( y -3) 2 =34 解析 　设所求圆的方程为( x 2 + y 2 -4)+ a ( x + y +2)=0, a ≠ 0, 即 x 2 + y 2 + ax + ay -4+2 a =0,∴圆心为   , ∵圆心在直线2 x - y -3=0上,∴- a +   -3=0,∴ a =-6. ∴圆的方程为 x 2 + y 2 -6 x -6 y -16=0,即( x -3) 2 +( y -3) 2 =34. 思路分析     设所求圆的方程为 ( x 2 + y 2 -4)+ a ( x + y +2)=0, a ≠ 0, 即 x 2 + y 2 + ax + ay -4+2 a =0, 由圆心在直线 2 x - y -3=0 上求出 a 的值 , 即可求出圆的方程 . 4 .(2019福建厦门一模)在△ ABC 中, AB =4, AC =2, A =   ,动点 P 在以点 A 为圆心,1 为半径的圆上,则   ·   的最小值为 　　　     . 答案 　5-2   解析　 如图,以点 A 为原点, AB 边所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.   则 A (0,0), B (4,0), C (1,   ),设 P ( x , y ),则   =(4- x ,- y ),   =(1- x ,   - y ), ∴   ·   =(4- x )(1- x )- y (   - y )= x 2 -5 x + y 2 -   y +4=   +   -3,其中   +   表示圆 A 上的点 P 与点 M   之间的距离| PM |的平方,由几何图形 可得| PM | min =| AM |-1=   -1=   -1, ∴(   ·   ) min =(   -1) 2 -3=5-2   . 考点三　直线、圆的位置关系 命题角度一　直线与圆相切问题 (2018课标全国Ⅱ,20,12分)设抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 k ( k >0)的 直线 l 与 C 交于 A , B 两点,| AB |=8. (1)求 l 的方程; (2)求过点 A , B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 解析 　(1)由题意得 F (1,0), l 的方程为 y = k ( x -1)( k >0). 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 由   得 k 2 x 2 -(2 k 2 +4) x + k 2 =0. 因 Δ =16 k 2 +16>0,故 x 1 + x 2 =   . 所以| AB |=| AF |+| BF |=( x 1 +1)+( x 2 +1)=   . 由题设知   =8,解得 k =-1(舍去)或 k =1. 因此, l 的方程为 y = x -1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y -2=-( x -3),即 y = - x +5. 设所求圆的圆心坐标为( x 0 , y 0 ), 则   解得   或   因此所求圆的方程为( x -3) 2 +( y -2) 2 =16 或( x -11) 2 +( y +6) 2 =144. 总结提升 直线与圆相切问题的解题策略 直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半 径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一 点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股 定理计算. 命题角度二　直线与圆相交问题 1 .(2018课标全国Ⅰ,15,5分)直线 y = x +1与圆 x 2 + y 2 +2 y -3=0交于 A , B 两点,则| AB |= 　　　     . 答案 　2   解析 　将圆 x 2 + y 2 +2 y -3=0化为标准方程为 x 2 +( y +1) 2 =4,则圆心坐标为(0,-1),半 径 r =2, ∴圆心到直线 x - y +1=0的距离 d =   =   , ∴| AB |=2   =2   =2   . 2 .(2017课标全国Ⅲ,20,12分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 y = x 2 + mx -2与 x 轴交于 A , B 两点,点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时,解答下列问题: (1)能否出现 AC ⊥ BC 的情况?说明理由; (2)证明过 A , B , C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 解析 　(1)不能出现 AC ⊥ BC 的情况,理由如下: 设 A ( x 1 ,0), B ( x 2 ,0),则 x 1 , x 2 满足 x 2 + mx -2=0,所以 x 1 x 2 =-2. 又 C 的坐标为(0,1),故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为   ·   =-   ,所以不能出现 AC ⊥ BC 的情况. (2)证明: BC 的中点坐标为   , 可得 BC 的中垂线方程为 y -   = x 2   . 由(1)可得 x 1 + x 2 =- m ,所以 AB 的中垂线方程为 x =-   . 联立得   又   + mx 2 -2=0,可得   所以过 A , B , C 三点的圆的圆心坐标为   , 半径 r =   . 故圆在 y 轴上截得的弦长为2   =3,即过 A , B , C 三点的圆在 y 轴上截得的 弦长为定值. 总结提升 求解圆的弦长的三种方法 关系法 根据半径,弦心距,弦长的一半构成的直角三角形,构成三者间的关系 r 2 = d 2 +   (其中 l 为弦长, r 为圆的半径, d 为圆心到直线的距离) 公式法 根据公式 l =   | x 1 - x 2 |求解(其中 l 为弦长, x 1 , x 2 为直线与圆相交所得交 点的横坐标, k 为直线的斜率) 距离法 联立直线与圆的方程,解方程组求出两交点坐标,用两点间距离公式求 解 1 .(2019江西上饶一模)直线 ax - by =0与圆 x 2 + y 2 - ax + by =0的位置关系是   (　　) A.相交　    B.相切　    C.相离　    D.不能确定 B 答案    B 　将圆的方程化为标准方程得   +   =   ,∴圆心坐标 为   ,半径 r =   .∵圆心到直线 ax - by =0的距离 d =   =   = r ,∴直线与圆相切.故选B. 2 .(2019广东天河一模,10)已知圆 C 的方程为 x 2 -2 x + y 2 =0,直线 l : kx - y +2-2 k =0与圆 C 交于 A , B 两点,则当△ ABC 面积最大时,直线 l 的斜率 k 为   (　　) A.1　    B.6　     C.1或7　    D.2或6 C 答案    C 　由 x 2 -2 x + y 2 =0,得( x -1) 2 + y 2 =1, 则圆的半径 r =1,圆心 C (1,0), 直线 l : kx - y +2-2 k =0与圆 C 交于 A , B 两点, 当 CA 与 CB 垂直时,△ ABC 面积最大, 此时△ ABC 为等腰直角三角形,圆心 C 到直线 AB 的距离 d =   ,则有   =   ,解得 k =1或 k =7.故选C. 3 .(2018湖南十四校二联,8)已知直线 x -2 y + a =0与圆 O : x 2 + y 2 =2相交于 A , B 两点( O 为坐标原点),且△ AOB 为等腰直角三角形,则实数 a 的值为 　　　     . 答案      ±   解析　 因为直线 x -2 y + a =0与圆 O : x 2 + y 2 =2相交于 A , B 两点( O 为坐标原点),且△ AOB 为等腰直角三角形,所以圆心 O 到直线 AB 的距离为1,由点到直线的距离 公式可得   =1,所以 a = ±   . 4 .(2018福建福州模拟)抛物线 C : y =2 x 2 -4 x + a 与两坐标轴有三个交点,其中与 y 轴 的交点为 P . (1)若点 Q ( x , y )(1< x <4)在 C 上,求直线 PQ 斜率的取值范围; (2)证明:经过这三个交点的圆 E 过定点. 解析 　(1)由题意得, P (0, a )( a ≠ 0), Q ( x ,2 x 2 -4 x + a )(1< x <4),故 k PQ =   =2 x - 4, 因为1< x <4,所以-2< k PQ <4. 所以直线 PQ 斜率的取值范围是(-2,4). (2)证法一: P (0, a )( a ≠ 0). 令2 x 2 -4 x + a =0,则 Δ =16-8 a >0, a <2,且 a ≠ 0, 解得 x =1 ±   , 故抛物线 C 与 x 轴交于 A   , B   两点. 故可设圆 E 的圆心为 M (1, t ), 由| MP | 2 =| MA | 2 ,得1 2 +( t - a ) 2 =   + t 2 ,解得 t =   +   ,则圆 E 的半径 r =| MP |=   . 所以圆 E 的方程为( x -1) 2 +   =1+   , 所以圆 E 的一般方程为 x 2 + y 2 -2 x -   y +   =0. 即 x 2 + y 2 -2 x -   y + a   =0. 由   得   或   故圆 E 过定点   ,   . 证法二: P (0, a )( a ≠ 0),设抛物线 C 与 x 轴的两个交点分别为 A ( x 1 ,0), B ( x 2 ,0),圆 E 的 一般方程为 x 2 + y 2 + Dx + Fy + G =0( D 2 + F 2 -4 G >0),则   因为 x 1 , x 2 是方程2 x 2 -4 x + a =0,即 x 2 -2 x +   =0的两根, 所以   -2 x 1 +   =0,   -2 x 2 +   =0, 所以 D =-2, G =   , 所以 F =   =-   ,所以圆 E 的一般方程为 x 2 + y 2 -2 x -   y +   =0,即 x 2 + y 2 -2 x -   y + a   =0. 由   得   或   故圆 E 过定点   ,   .