专题09 三角恒等变换与解三角形（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 10页

专题09 三角恒等变换与解三角形（仿真押题）‎ ‎2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 ‎1．已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B． C． D．－ 解析：因为α∈，所以cos α＝－，所以tan α＝－，所以tan＝＝＝，故选C.‎ 答案：C ‎2．△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝(　　)‎ A．2　　　 B. C．3　　　　D. 解析：由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A⇒a2＝9＋(a＋2)2－2×3×(a＋2)×⇒a＝2，故选A.‎ 答案：A ‎3．已知α∈，tan＝，那么sin 2α＋cos 2α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案：A ‎4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A.3 B. C. D.3 解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.‎ ‎∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得 ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝，故选C.‎ 答案　C ‎5.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)‎ A. B. C. D.或 答案　A ‎6.若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.‎ 解析　∵sin A＋sin B＝2sin C.‎ 由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，‎ cos C＝＝ ‎＝≥＝，‎ 当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.‎ ‎∴cos C的最小值为.‎ 答案　 ‎7.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米.‎ 答案　400 ‎8．已知△ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值是________．‎ 解析：因为S＝a2－(b－c)2，所以bcsin A＝－(b2＋c2－a2)＋2bc，所以bcsin A＝2bc－2bccos A，又sin2 A＋cos2 A＝1，所以sin A＝4(1－cos A)，所以sin A＝，所以S＝bcsin A＝bc≤2＝.‎ 答案： ‎9．已知函数f(x)＝2cos2 ＋sin x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；‎ ‎(2)若tan ＝，求f(α)的值．‎ 解析：(1)f(x)＝1＋cos x＋sin x ‎＝2cos＋1，‎ 所以当cos＝1，即x－＝2kπ，x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为3，‎ 此时相应的x的取值集合为 .‎ ‎(2)f(α)＝2cos2 ＋2sin cos ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎10．如图在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos ∠BAC＝－，AB＝3，BD＝.‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解析：(1)因为AD⊥AC，cos ∠BAC＝－，‎ 所以sin ∠BAC＝.‎ 又sin ∠BAC＝sin＝cos ∠BAD＝，‎ 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos ∠BAD，‎ 即AD2－8AD＋15＝0，‎ 解得AD＝5或AD＝3，由于AB>AD，‎ 所以AD＝3.‎ ‎(2)在△ABD中，＝，‎ 又由cos ∠BAD＝得sin ∠BAD＝，所以sin ∠ADB＝，则sin ∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin ∠ADB＝.‎ 因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，所以cos ∠C＝.‎ 在Rt△ADC中，cos ∠C＝，则tan ∠C＝＝＝，‎ 所以AC＝3，‎ 则△ABC的面积S＝AB·AC·sin ∠BAC＝×3×3×＝6.‎ ‎11.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值.‎ ‎9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin B＝bcos C＝3.‎ ‎(1)求b；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，求c.‎ 解　(1)由正弦定理得：sin Csin B＝sin Bcos C.‎ 又sin B≠0，所以sin C＝cos C，∴C＝45°.‎ 又bcos C＝3，所以b＝3.‎ ‎(2)因为S△ABC＝acsin B＝，csin B＝3，所以a＝7，‎ 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝25.所以c＝5.‎ ‎12．已知f(x)＝2sin(x－)－，现将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．‎ ‎(1)求f()＋g()的值；‎ ‎(2)若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a＋c＝4，且当x＝B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围．‎ 解　(1)因为g(x)＝2sin(x＋)－]－＋＝2sin(x＋)，‎ 所以f()＋g()＝2sin(－)－＋2sin＝1.‎ ‎(2)因为g(x)＝2sin(x＋)，‎ 所以当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 即x∈＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取得最大值．‎ 因为x＝B时g(x)取得最大值，‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎ 而b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac≥16－3·()2＝16－12＝4，‎ 所以b≥2.又b0)的最小正周期为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域．‎ 解　(1)f(x)＝sin2ωx－(cos2ωx＋1)＝sin(2ωx－)－，因为函数f(x)的周期为T＝＝，‎ 所以ω＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(3x－)－，‎ 易得f(A)＝sin(3A－)－.‎ 因为sinB，sinA，sinC成等比数列，‎ 所以sin2A＝sinBsinC，‎ 所以a2＝bc，‎ 所以cosA＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)，‎ 因为0