【数学】2020届浙江一轮复习通用版3-1变化率与导数、导数的计算作业 7页

‎[基础达标]‎ ‎1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是(　　)‎ A．0 B．2cos 1－sin 1‎ C．cos 1－sin 1 D．1‎ 解析：选B.因为y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2·(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.‎ ‎2．(2019·衢州高三月考)已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于(　　)‎ A．0 B．－1‎ C． D．2‎ 解析：选C.依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.‎ ‎3．(2019·温州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为(　　)‎ A． B．1‎ C． D．2‎ 解析：选B.因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，‎ 所以f′(x)＝2x＋2，‎ 所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，‎ 因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，‎ 所以f′(x1)f′(x2)＝－1.‎ 所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，‎ 所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，‎ 所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，‎ 即x1＝－，x2＝－时等号成立．‎ 所以x2－x1的最小值为1.故选B.‎ ‎4．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝(　　)‎ A．－6 B．－8‎ C．6 D．8‎ 解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.‎ 所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7‎ ‎＝－4ax3＋bsin x＋7.‎ 所以f′(x)＋f′(－x)＝14.‎ 又f′(2 018)＝6，‎ 所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.‎ ‎5. 如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x ‎)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ 解析：选B.由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.‎ ‎6．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为(　　)‎ A．1 B． C． D． 解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.‎ ‎7．已知f(x)＝，g(x)＝(1＋sin x)2，若F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(x)的导函数为________．‎ 解析：因为f′(x)＝ ‎＝＝ g′(x)＝2(1＋sin x)(1＋sin x)′＝2cos x＋sin 2x，‎ 所以F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝＋2cos x＋sin 2x.‎ 答案：＋2cos x＋sin 2x ‎8．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．‎ 解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3ln x的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．(2019·浙江金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 018，若对任意的x∈R，都有f′(x)＜2x成立，则不等式f(x)＜x2＋2 014的解集为________．‎ 解析：构造函数g(x)＝f(x)－x2－2 014，则g′(x)＝f′(x)－2x＜0，所以函数g(x)在定义域上为减函数，且g(－2)＝f(－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f(x)＜x2＋2 014有f(x)－x2－2 014＜0，即g(x)＜0＝g(－2)，所以x＞－2，不等式f(x)＜x2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．‎ 答案：(－2，＋∞)‎ ‎10．如图，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝，则g′(4)＝________．‎ 解析：g′(x)＝′＝.‎ 由已知图象可知，直线l经过点P(0，3)和Q(4，5)，‎ 故k1＝＝.‎ 由导数的几何意义可得f′(4)＝，‎ 因为Q(4，5)在曲线y＝f(x)上，故f(4)＝5.‎ 故g′(4)＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.‎ 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，‎ 即y＝13x－32.‎ ‎(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，‎ 所以切线的斜率k＝4.‎ 设切点的坐标为(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.‎ 所以或 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，‎ 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎12．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2处的切线方程为3x－4y＋4＝0.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：y＝x，直线l2：x＝0围成的三角形的面积为定值．‎ 解：(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－(x≠0)．‎ 由题意得 即解得a＝1，b＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知f(x)＝x＋，‎ 设曲线的切点为P，f′(x0)＝1－，‎ 曲线在P处的切线方程为 y－＝(x－x0)．‎ 即y＝x＋.当x＝0时，y＝.‎ 即切线l与l2：x＝0的交点坐标为A.‎ 由得 即l与l1：y＝x的交点坐标为B(2x0，2x0)．‎ 又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S＝·|2x0|·＝2.‎ 即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值．‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． B．[－，＋∞)‎ C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)‎ 解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.‎ ‎2．(2019·金华十校联考)已知函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则x0必满足(　　)‎ A．0＜x0＜ B．＜x0＜1‎ C．＜x0＜ D．＜x0＜ 解析：选D.令f(x)＝x2，f′(x)＝2x，f(x0)＝x，所以直线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x＝2x0x－x，因为l也与函数y＝ln x(x∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y′＝，所以l的方程为y＝x＋ln x1－1，这样有所以1＋ln(2x0)＝x，x0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x0，又因为g′(x)＝2x－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2＜0，g()＝1－ln 2＜0，g()＝2－ln 2＞0，从而＜x0＜，选D.‎ ‎3．(2019·浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．‎ ‎①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；‎ ‎③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.‎ 解析：①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin＜0在区间上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0.④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．‎ 答案：①②③‎ ‎4．(2019·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos πx＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))，则a＋b＝________，直线l的方程为________．‎ 解析：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsin πx＋b，‎ f(0)＝a，g(1)＝cos π＋b＝b－1，‎ f′(0)＝a，g′(1)＝b，‎ 由题意可得f′(0)＝g′(1)，则a＝b，‎ 又f′(0)＝＝a，‎ 即a＝b＝－1，则a＋b＝－2；‎ 所以直线l的方程为x＋y＋1＝0.‎ 答案：－2　x＋y＋1＝0‎ ‎5．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1， ①‎ y1＝－x＋x1－4， ②‎ ‎－2x1＋＝k， ③‎ 联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．所以k＝.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5. ④‎ 将④代入抛物线方程得，x2－x＋9＝0.‎ 设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，‎ 所以x2＝，y2＝－4.‎ 所以Q点的坐标为.‎ ‎6．(2019·绍兴一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，‎ 因为f′(－1)＝0，‎ 所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.‎ ‎(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)．‎ 因为g′(x0)＝6x0＋6，‎ 所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，‎ 将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.‎ 当x0＝－1时，切线方程为y＝9；‎ 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.‎ 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，‎ ‎①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，‎ 解得x＝－1或x＝2.‎ 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；‎ 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，‎ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.‎ ‎②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，‎ 解得x＝0或x＝1.‎ 在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；‎ 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，‎ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.‎ 综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.‎