人教版九年级数学上册专题训练(四)　一元二次方程的应用 15页

第二十一章　一元二次方程 人教版 专题训练(四)　一元二次方程的应用 1 ．王红梅同学将 1 000 元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90% ，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率． ( 不计利息税 ) 解：设第一次存款时的年利率为 x. 则根据题意，得 [1 000(1 ＋ x) － 500](1 ＋ 0.9x) ＝ 530. 整理，得 90x 2 ＋ 145x － 3 ＝ 0. 解这个方程，得 x 1 ≈0.0204 ＝ 2.04% ， x 2 ≈ － 1.63( 舍去 ). 答：第一次存款时的年利率约是 2.04% 2 ． 《 算学宝鉴 》 全称 《 新集通证古今算学宝鉴 》 ，完成于明嘉靖三年 (1524 年 ) ，王文素著，全书分 12 本 42 卷，近 50 万字，代表了我国明代数学的最高水平． 《 算学宝鉴 》 中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔各几何？” 译文：一个矩形田地的面积等于 864 平方步，且它的宽比长少 12 步，问长与宽各是多少步？ 请解决上述问题． 解：设矩形田地的长为 x 步，则宽为 (x － 12) 步，依题意得 x(x － 12) ＝ 864 ，整理得 x 2 － 12x － 864 ＝ 0 ，解得 x 1 ＝ 36 ， x 2 ＝－ 24( 舍 ) ，∴ x － 12 ＝ 24. 答：该矩形田地的长为 36 步，宽为 24 步 3 ．为了满足铁路交通的快速发展，某地的火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 解：设甲队单独完成这项工程需要 x 个月，则乙队单独完成这项工程需要 (x － 5) 个月，由题意，得 x(x － 5) ＝ 6(x ＋ x － 5) ， 解得 x 1 ＝ 2( 舍去 ) ， x 2 ＝ 15. ∴ 乙队单独完成这项工程需要 15 － 5 ＝ 10( 个 ) 月， 答：甲队单独完成这项工程需要 15 个月，乙队单独完成这项工程需要 10 个月 4 ．如图，把一张长 10 cm ，宽 8 cm 的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子 ( 纸板的厚度忽略不计 ). (1) 要使无盖长方体盒子的底面积为 48 cm 2 ，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2) 如果把长方形硬纸板的四周分别剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，那么它的侧面积 ( 指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积 ) 可以达到 30 cm 2 吗？请说明理由． 解： (1) 设剪去的正方形边长为 x cm ，由题意，得 (10 － 2x)(8 － 2x) ＝ 48 ，即 x 2 － 9x ＋ 8 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 8( 舍去 ) ， x 2 ＝ 1.∴ 剪去的正方形的边长为 1 cm 5 ．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知 2017 年该市投入基础教育经费 5 000 万元， 2019 年投入基础教育经费 7 200 万元． (1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； (2) 如果按 (1) 中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划 2020 年用不超过当年基础教育经费的 5% 购买电脑和实物投影仪共 1 500 台调配给农村学校，若购买一台电脑需 3 500 元，购买一台实物投影仪需 2 000 元，则最多可购买电脑多少台？ 解： (1) 设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 x ，根据题意，得 5 000(1 ＋ x) 2 ＝ 7 200 ，解得 x 1 ＝ 0.2 ＝ 20% ， x 2 ＝－ 2.2( 舍去 ). 答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 20% (2)2020 年投入基础教育经费为 7 200×(1 ＋ 20%) ＝ 8 640( 万元 ) ，设购买电脑 m 台，则购买实物投影仪 (1 500 － m) 台，根据题意，得 3 500m ＋ 2 000×(1 500 － m)≤86 400 000×5% ，解得 m≤880. 答：最多可购买电脑 880 台 6 ． (2019 · 安顺 ) 某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y( 千克 ) 与每千克降价 x( 元 )(0 ＜ x ＜ 20) 之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 商贸公司要想获利 2 090 元， 则这种干果每千克应降价多少元？ 解： (1)y ＝ 10x ＋ 100 (2) 由题意得 (60 － 40 － x)(10x ＋ 100) ＝ 2 090 ， 整理得 x 2 － 10x ＋ 9 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 1.x 2 ＝ 9 ， ∵让顾客得到更大的实惠，∴ x ＝ 9 ，答：商贸公司要想获利 2 090 元，则这种干果每千克应降价 9 元 7 ． ( 遵义中考 ) 在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为 20 元 / 千克，售价不低于 20 元 / 千克，且不超过 32 元 / 千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y( 千克 ) 与该天的售价 x( 元 / 千克 ) 满足如下表所示的一次函数关系 . (1) 某天这种水果的售价为 23.5 元 / 千克，求当天该水果的销售量； (2) 如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？ 销售量 y( 千克 ) … 34.8 32 29.6 28 … 售价 x( 元 / 千克 ) … 22.6 24 25.2 26 … 解： (1) 求得 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝－ 2x ＋ 80. 当 x ＝ 23.5 时， y ＝－ 2x ＋ 80 ＝ 33. 答：当天该水果的销售量为 33 千克 (2) 根据题意得 (x － 20)( － 2x ＋ 80) ＝ 150 ，解得 x 1 ＝ 35 ， x 2 ＝ 25.∵20≤x≤32 ，∴ x ＝ 25. 答：如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为 25 元 8 ．如图，等腰 Rt△ABC(∠ACB ＝ 90°) 的直角边与正方形 DEFG 的边长均为 2 ，且 AC 与 DE 在同一直线上，开始时点 C 与点 D 重合，让△ ABC 沿这条直线向右平移，直到点 A 与点 E 重合为止．设 CD 的长为 x ，△ ABC 与正方形 DEFG 重合部分 ( 图中阴影部分 ) 的面积为 y. (1) 当点 A 与点 D 重合时， x ＝ ____ ，此时 y ＝ ____ ； 2 2