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- 2021-04-23 发布
K12联盟2018届高三年级第一学期期末检测联考
数学（理科试题）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.（ ）
A． B． C． D．
3.已知复数（，）满足，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含有项的系数是（ ）
A． B． C． D．
5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
6.函数在上单调递增，则的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A． B． C． D．
8.已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．34 B．22 C．12 D．30
9.已知双曲线：（，）的焦点为，，抛物线：的准线与交于、两点，且与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10.本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ）
A．330种 B．420种 C．510种 D．600种
11.圆：，点为直线上的一个动点，过点向圆作切线，切点分别为、，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数若存在，，且，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或D．或
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在中，内角、、所对的边分别是、、，若，则的大小为 ．
14.已知向量，向量在向量方向上的投影为，且，则 ．
15.如图1，在矩形中，，，是的中点；如图2，将沿折起，使折后平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为 ．
16.若函数，若对任意不同的实数、、，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列满足，且．
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）令，，求数列的前项和．
18.在如图所示的几何体中，，，平面，在平行四边形中，，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19.某市县乡教师流失现象非常严重，为了县乡孩子们能接受良好教育，某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要1万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要3万元，已知现在该市县乡中学无多余教师，为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市50所县乡中学在过去三年内的教师流失数，得到如表的频率分布表：
流失教师数
6
7
8
9
频数
10
15
15
10
以这50所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师数发生的概率，记表示两所县乡中学在过去三年共流失的教师数，表示今年为两所县乡中学招聘的教师数．为保障县乡孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘．
（1）求的分布列；
（2）若要求，确定的最小值；
（3）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
20.已知直线：与圆相交的弦长等于椭圆：（）的焦距长．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为原点，椭圆与抛物线（）交于、两点，点为椭圆
上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值．
21.已知函数有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）设，（）是的两个零点，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于、两点，且点的坐标为，求的值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围．
K12联盟2018届高三年级第一学期期末检测联考数学（理科试题卷）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1），且，
∴，即，∴，
数列是等差数列，∴，
∴，∴．
（2）由（1）知，∴，
∴，
．
18.（1）证明：连接交于，取中点，连接，，
因为，，又，
所以，，从而，平面，平面，
所以平面．
（2）在平行四边形中，由于，，，则，又平面，则以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则由
令，得，，所以，
，设平面的一个法向量为，
则由即
令，得，，所以，
，所以，
所以所求二面角的余弦值为．
19.解：（1）由频数分布表中教师流失频率代替教师流失概率可得，一所县乡中学在三年内流失的教师数为6,7,8,9的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2．
所有可能的取值为：12,13,14,15,16,17,18，
且，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
12
13
14
15
16
17
18
0.04
0.12
0.21
0.26
0.21
0.12
0.04
（2）由（1）知，，
故的最小值为15．
（3）记表示两所县乡中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）．
当时，的分布列为：
15
18
21
24
0.63
0.21
0.12
0.04
；
当时，的分布列为：
16
19
22
0.84
0.12
0.04
．
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．
20.解：（1）由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为 ，
直线与圆相交的弦长为，则，，
又∵，∴，
∴椭圆的方程．
（2）证明：由条件可知，，两点关于轴对称，设，，则，
由题可知，，，所以，．
又直线的方程为，令得点的横坐标，
同理可得点的横坐标，
所以
，
即为定值．
21.解：（1）∵，．
（2）当时，在上恒成立，∴在
上单调递增，显然不符合题意．
（3）当时，由，得，
递减
极小值
递增
当→，→时都有→，
当，即时有两个零点．
（2）要证，即证，
由已知，，
即证，
即证，即证，即证，
又∵，且在单调递增，
故只需证，即证，
令且，
∵，
∴在单调递减，∴，
∴在上恒成立，
∴，故原命题得证．
22.解：（1）：，：，
即，所以的普通方程是．
（2）将直线方程转化为标准形式的参数方程：（为参数），
代入中得：，，
设，对应的参数分别为，，则，
则．
23.解：（1），
所以的最大值是3．
（2），恒成立，
等价于，即．
当时，等价于，解得；
当时，等价于，化简得，无解；
当时，等价于，解得．
综上，实数的取值范围为．