人教新课标A版高考数学黄金题系列第18题几类特殊函数对勾函数、绝对值函数等文 19页

第 18 题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等） I．理论基础·解题原理 （I）对勾函数 一、对勾函数的定义 形如 )0,0(  bax baxy 的函数，叫做对勾函数． 二、对勾函数 )0,0()(  bax baxxf 的图象与性质 1.定义域 0}{  xRx 2.值域 当 0x 时， abx baxx bax 22  （当且仅当 x bax  ，即 a bx  时取等号）． 当 0x 时， abx baxx baxx bax 2))((2)]()[(  （当且仅当 x bax  ，即 a bx  时取等号）． 函数 )0,0()(  bax baxxf 的值域为 ,2[]2,( abab  ） ． 3.奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称， )()( x baxx baxxf  )(xf ，则对勾函数为奇函数． 4.单调性 由于 2)( x baxf  ，令 0)(  xf ，解得 a bx  或 a bx  ，令 0)(  xf ，解得 0 xa b 或 a bx 0 ，所以函数 )(xf 在 ),( a b 上为增函数，在 )0,( a b 上为减函数，在 ),0( a b 上为减函数， 在 ),(  a b 上为增函数． 5.渐近线 当 0x 时， 0 x bax ，当 0x 时， 0 x bax ，说明函数的的图象在第一、第三象限． 当 0x 时， x b x baxxf )( ，说明函数在第一象限的图象在直线 axy  的上方，当 0x 时， axx baxxf )( ，说明函数在第三象限的图象在直线 axy  的下方． 双勾函数就是以 y 轴和直线 xy  为渐近线的双曲线． 特别 1,1  ba 时， xxxf 1)(  ，函数图象如下图所示： （II）绝对值函数 一、绝对值函数的定义：形如 baxy  的函数，叫做绝对值函数． 含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大 多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下 3 类：1．形如  f x 的函数,研究此类函数往往结合  f x 图像,可以看成由  f x 的图像在 x 轴上方部分不变,下方 部分关于 x 轴对称得到；2．形如  f x 的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究 0x  的情况, 0x  的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如 1y x x a   , 2y x x a   等, 这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究． 二、绝对值函数 baxxf )( 的图象与性质 1.定义域：R； 2.值域： ),0[  ； 3.单调性：函数 )(xf 在 ）（ a b , 上为减函数，在 ),(  a b 上为增函数． 特别 0,1  ba 时， xxf )( ，图象如下图所示 （III）取整函数 取整函数的定义 若 x 为实数，[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 ][)( xxf  叫做取整函数．举例如下： ,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[  1]9.1[  等． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、 奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等． 【技能方法】 解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象， 利用数形结合思想，解决相应问题． 【易错指导】 注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题． V．举一反三·触类旁通 考向 1 对勾函数 【例 1】【2018 河北唐山模拟】已知 1( ) 1f x x x    ， ( ) 2f a  ，则 ( )f a  （ ） A． 4 B． 2 C． 1 D． 3 【答案】A 【解析】∵ 1( ) 1f x x x    ，∴ xxxf 11)(  ，令 1)()(  xfxF ，则 )(xF 为奇函数，则 )()( xFxF  ，所以 1)(1)(  xfxf ，有 4222)()(  afaf ，故选 A． 考点：函数值、函数的奇偶性． 【例 2】【2018 云南省师大附中模拟】若函数 3 2( ) 3f x x tx x   在区间[1,4] 上单调递减，则实数 t 的 取值范围是（ ） A． 51( , ]8  B． ( ,3] C． 51[ , )8  D．[3, ) 【答案】C 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性． 【例 3】【2017 山西四 校 联 考 】若函数 )()( Rbx bxxf  的导函数在区间（1，2）上有零点，则 )(xf 在下列区间上单调递增的是 A．  1, B．  0,1 C． 1,0 D．  ,2 【解析】 01)( 2  x bxf ， bx 2 ，显然 0b ，函数 )()( Rbx bxxf  的导函数在区间（1，2） 上有零点， 41  b ， )(xf 为增函数，只需 bxx bx x bxf  2 2 2 2 ,01)( ，故选 D． 【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等． 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件． 3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧． 【例 4】【2018 吉林百校联盟高三九月联考】已知函数   12 , 1,2{ 1 2 , 1,2 x x x x x f x x      函数    g x f x m  ， 则下列说法错误的是（ ） A．若 3 2m   ，则函数  g x 无零点 B．若 3 2m   ，则函数  g x 有零点 C．若 3 3 2 2m   ，则函数  g x 有一个零点 D．若 3 2m  ，则函数  g x 有两个零点 【答案】A 【解析】作出函数  f x 的图象如图所示： 观察可知：当 3 2m   时，函数  g x 有一个零点，故 A 错误．故选 A． 【跟踪练习】 1．若函数   4f x x x   ，则下列结论正确的是（ ）         4 (0,2) , (2, ) 4 (0,2) , (2 . ) . . . , A f x B f x C f x D f x   的最小值为 在 上单调递减 在 上单调递增 的最大值为 在 函数 函数 函数 函 上单调递增 在数 上单调递减 2．关于函数   2 1lg | |f xx x  有下列命题： （1）其图象关于 y 轴对称； （2）函数 f(x)在 (0, ) 上单调递增，在 ( ,0) 上单调递减； （3）函数 f(x)的最小值为 lg 2 ； （4）函数 f(x)在 ( 1,0),(2, )  上单调递增； （5）函数 f(x)无最大值，也无最小值 其中所有正确结论的序号是（ ） 【解析】注意函数的定义域为 0x  ． 如图： 所以在 (0, ) 上，g(x)在 (0,1) 上递减，在 (1, ) 上递增．所以由复合函数单调性可知，f(x) 在 (0,1) 上 递减，在 (1, ) 上递增．由函数对称性，f(x) 在 ( 1,0) 上递增，在 ( , 1)  上递减，所以（2）不正确， （4）正确．又因为，函数 g(x)的最小值为 2，所以 f(x)的最小值为 lg2，所以（3）正确，（5）不正确． 3．函数 2 2 4log ( [2,4])logy x xx    的最大值为______ 【答案】5 4．求函数 3( )f x x x   在下列条件下的值域： (1)  ( ,0) 0,x   ； (2) (2,3]x  【解析】（1）当 x>0 时，由均值不等式，有 3 32 2 3x xx x     当 3x x  时，即 3x  时，取到等号； 当 x<0 时，有 3 3[ ( ) ] 2 3x xx x        所以函数的值域为： ( 2 3] [2 3, )    ， 5．已知函数 ( ) af x x x   其中常数 a>0． (1)证明:函数 f(x)在 (0, ]a 上是减函数,在[ , )a  上是增函数； (2)利用(1)的结论,求函数 20y x x   (x∈[4,6])的值域； (3)借助(1)的结论,试指出函数 2 7( ) 1xg x xx    的单调区间,不必证明． 【解析】（1） 2 1 11 xy x x x    ． 1 5 1 2 1(1,2] (2, ] [ , )12 5 2x x x x x         ，所以值域为： 2[ ,2)5 （2）解： 2 3 2 2 3x xy xx x      ． 2(1,2] [2 2,3]x x x     ，所以值域为：[3 2 2,6] ． （3） 5 5( 1) 11 1y x xx x        ，所以值域为：[2 5 1, )  ． 考向 2 绝对值函数 【例 5】【2017 云南昆明下学期第二次统测】已知关于 x 的方程 1 2 a xx  有三个不同的实数解，则实 数 a 的取值范围是 （ ） A． ,0 B． 0,1 C． 1, D．  0, 【答案】C 【解析】当 0a  时，方程无解；当 0a  时， 2x   ，方程 2 1 2 1 1, 2 1 0, 0, 02 ax ax ax x xx a          ，即至多一解；当 0a  时， 2x   ，当 0x  时方程 2 1 2 1 1, 2 1 0, 0, 02 ax ax ax x xx a          ，即必有一解；当 2 0x   时方程 2 1 2 1 1, 2 1 0, 0, 0 12 ax ax ax x x ax a            ，因此 1a  有三个不同的实数解，选 C． 【例 6】已知函数 2 1 , 0( ) log , 0 x xf x x x      ,若方程 ( )f x a 有四个不同的解 1x , 2x , 3x , 4x ,且 1 2 3 4x x x x   ,则 3 1 2 2 3 4 1( )x x x x x   的取值范围是（ ） A． ( 1, )  B． 1,1 C． ( ,1) D． 1,1 【答案】B 【例 7】【2018 上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数   2, 1 { 2 , 1 x x f x x xx      ，设 a R ， 若关于 x 的不等式   2 xf x a  在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是__________． 【答案】 2,2 【例 8】【2015 高考湖北卷】 a 为实数,函数 2( ) | |f x x ax  在区间[01]，上的最大值记为 ( )g a ． 当 a  时, ( )g a 的值最小． 【答案】 3 2 2 【解析】    2f x x ax x x a    ．①当 0a  时,函数  f x 的图像如图所示．函数  f x 在区间 0,1 上单调递增,      max 1 1f x g a f a    ． ②当 0a  时, 2( )f x x ,  f x 在区间 0,1 上的最大值为    1 1f g a a   ． ③当 0a  时,函数  f x 的图像如图所示． 【例 9】函数 xxg 2log)(  )2 1( x ,关于 x 的方程 2( ) ( ) 2 3 0g x m g x m    恰有三个不同实数解, 则实数 m 的取值范围为 ． 【答案】 3 4 2 3m    【例 10】【2018 广东广州模拟】已知函数    1 1f x x x x R     (1)证明：函数  f x 是偶函数； (2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写 出函数的值域； (3)在同一坐标系中画出直线 2y x  ，观察图像写出不等式   2f x x  的解集． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）{ | 0 2}x x x或 ． 【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数 具有奇偶性的前提，当函数的定义域关于原点对称式， 根据 f(-x)与 f(x)的关系，判断函数 f(x)为奇偶 性；再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；根据图象解不等式， 这是一种数形结合思想． 试题解析： （1）依题可得：  f x 的定义域为 R    1 1 1 1f x x x x x f x              f x 是偶函数 （2）     2 ( 1) { 2 1 1 2 ( 1) x x f x x x x         由函数图象知，函数的值域为 2, （3）由函数图象知，不等式的解集为{ | 0 2}x x x或 【跟踪练习】 1．【2018 浙江台州模拟】函数  ( ) min 2 , 2f x x x  ，其中   ,min , , a a ba b b a b    ，若动直线 y m 与函数 ( )y f x 的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别 1 2 3, ,x x x ，则 1 2 3x x x  的最大值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 由 mxx  22 22 ，得 mx  22 ， 02  m 由 mxx  22 33 ，得 23  mx ， 02 m       12 4 4 144 1224 222 22 2 321      mmmmmmmxxx ，当且仅当 22 4 mm  ， 即 2m 时取到等号，故答案为 D． 考点：1、函数图象的应用；2、基本不等式的应用． 2．【2018 北京西城区模拟】设函数 3 | |, 1,( ) log , 1. x a xf x x x    ≤ （1）如果 (1) 3f  ，那么实数 a ___； （2）如果函数 ( ) 2y f x  有且仅有两个零点，那么实数 a 的取值范围是___． 【答案】 2 或 4； ( 1,3] 【解析】由题意  1 1 3,f a   ，解得 2a   或 4a  ； 第二问如图： 考点：1．分段函数值；2．函 数的零点． 3．设函数 aRxaxxxf ,(2)( 2  为常数） （1）a=2 时，讨论函数 )(xf 的单调性； （2）若 a>-2，函数 )(xf 的最小值为 2，求 a 的值． 【解析】（1） 2a 时， 1 1 22 2222)( 2 2 2        x x xx xxxxxf ，结合图像知，函数 )(xfy  的单 调增 区间为 ),1[  ，减区间为 ]1,( ； （2） 2 2 2 2)( 2 2 ax ax axx axxxf        ， 12,2  aa ，结合图像可得 当 2a 时函数 )(xfy  的最小值为 1)1(  af =2，解得 a=3 符合题意； 当 22  a 时函数 )(xfy  的最小值为 24)2( 2  aaf ，无解； 综上，a=3． 考向 3 取整函数与程序框图 【例 11】【2018 山 西 四 校 联 考 】执行图中的程序框图（其中 x 表示不超过 x 的最大整数），则输出的 S 值为 A．5 B．7 C．9 D．12 考向 4 取整函数与函数的周期性 【例 12】【2018 陕西西北工业大学附中模拟】x 为实数，[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 ( ) [ ]f x x x  在 R 上为 ( ) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数 【答案】D 考点：函数的周期性． 【例 13】【2017 重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称， 以他的名字“高斯”命名的成果达 110 个，设 ，用 表示不超过 的最大整数，并用 表示 的非负纯小数，则 称为高斯函数，已知数列 满足： ，则 __________． 【答案】 考点：归纳推理、数列的递推公式及新定义问题． 【跟踪练习】 1．【2018 重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数 ，符 号 表示“不超过 的最大整数”，在数轴上，当 是整数， 就是 ，当 不是整数时， 是点 左侧 的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如 ． 求 的值为（ ） A．0 B．-2 C．-1 D．1 【答案】C 【解析】 =−2,−2< <−1, =−1, =0, =1,1< <2, =2， 由“取整函数”的定义可得， =−2−2−1+0+1+1+2=−1． 故选：C． 点睛：正确理解高斯（Gauss）函数的概念是解题的关键， 表示“不超过 的最大整数”， 首先 小于等于此实数，并且其为最大的整数，条件想全面． 2．【2018 江苏南京模拟】函数 [ ]y x 称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数 , [ ]x x 是不超过 x 的最 大整数，则函数 [ ] 1( 0.5 2.5)y x x     的值域为 ． 【答案】 0,1,2,3 3．【2018 福建三明模拟】对于任意 xR ，令[ ]x 为不大于 x 的最大整数，则函数 ( ) [ ]f x x 称为高斯函 数或取整函数．若数列{ }na 满足 ( )4n na f ( )n N ，且数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 4nS 等于 ． 【答案】 22n n 【解析】由定义知 41 2 3 5 6 7 8 9 40 , 1 , 2 , na a a a a a a a a a n          ， 2 4 4(1 2 ... 1) 2nS n n n n         ． 考向 5 取整函数与函数的零点 【例 14】【2018 天津南开中学第三次月考】已知 ,x R 符号  x 表示不超过 x 的最大整数，若函数      0xf x a xx    有且仅有 3 个零点，则 a 的取值范围是 ． 【答案】 3 4,4 5      【解析】由 f（x）=0 得 ax x ][ ，令 g（x）= x x][ （x>0），作出 g（x）的图象，利用数形结合即可得到 a 的取值范围．由 f（x）=0 得 ax x ][ ；令 g（x）= x x][ ，（x>0），则当 0＜x＜1，[x]=0，此时 g（x）=0， 当 1≤x＜2，[x]=1，此时 g（x）= x 1 ，此时 1)(2 1  xg ； 当 2≤x＜3，[x]=2，此时 g（x）= x 2 ，此时 1)(3 2  xg ； 当 3≤x＜4，[x]=3，此时 g（x）= x 3 ，此时 1)(4 3  xg ； 当 4≤x＜5，[x]=4，此时 g（x）= x 4 ，此时 1)(5 4  xg ； 作出 g（x）的函数的图象，要使函数      0xf x a xx    有且仅有 3 个零点，即函数 g（x）的图象与 直线 y=a 有且只有三个零点，由图象可知： 5 4 4 3  a ．故答案为： 5 4 4 3  a ． 考点：函数的零点与方程根的关系． 【例 15】【2018 杭州重点中学联考】已知 x R ，符号 x 表示不超过 x 的最大整数，若函数  ( ) ( 0)xf x a xx    有且仅有 3 个零点，则 a 的取值范围是 3 4 4 3. , ,4 5 3 2A           3 4 4 3. , ,4 5 3 2B          1 2 5 3. , ,2 3 4 2C          1 2 5 3. , ,2 3 4 2D           【答案】B 若 x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则   0x x  ，若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故 [ ] [ ] [ ]1 a 1[ ] 1 1 [ ] 1 x x x x x x £ £+ + +＜ ， ＜ ，且 [ ] [ ] 1 x x + 随着[x]的增大而增大．若 x＜0，此时[x]＜0； 若﹣1≤x＜0， 则   1x x  ，若 x＜-1，因为[x]≤x＜-1；[x]≤x＜[x]+1，故 [x] [x] [x]1 1 ax [x] 1 [x] 1 £ £+ +＜ ， ＜ , 且 [ ] [ ] 1 x x + 随着[x]的增大而增大．又因为[x]一定是不同的 x 对应不同的 a 值．所以为使函数 [x]f x ax = -（ ） 有且仅有 3 个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．若[x]=1，有 12 1  a 若[x]=2， 有 13 2  a 若[x]=3，有 14 3  a 若[x]=4，有 15 4  a 若[x]=-1，有 a＞1；若[x]=-2，有 1≤a＜2；若 [x]=-3，有 2 31  a 若[x]=-4，有 3 41  a ，综上所述， 5 4 4 3  a 或 2 3 3 4  a ．故选：B． 考点：函数零点的判定定理． 【跟踪练习】 1．【2018 福建省莆田模拟】在计算机的算法语言中有一种函数[ ]x 叫做取整函数（也称高斯函数），[ ]x 表 示不超过 x 的最大整数．例如：[2] 2,[3.1] 3,[ 2.6] 3     ．设函数 2 1( ) 1 2 2 x xf x   ，则函数 [ ( )] [ ( )]y f x f x   的值域为 （ ） A． 0 B． 1,0 C． 1,0,1 D． 2,0 【答案】B 2．某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再 增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 [ ]y x （其中[ ]x 表示不大于 x 的最大整数）可以表示为（ ） A． 5 10 xy      B． 4 10 xy      C． 3 10 xy      D． 10 xy      【答案】C 【解析】根据题意，当 16x  时 1y  ，所以选项 ,A B 不正确，当 17x  时 2y  ，所以 D 不正确，故 选 C． 3．【2018 浙江浙大附中模拟】对于实数 x ， ][x 称为取整函数或高斯函数，亦即 ][x 是不超过 x 的最大整 数．例如： 2]3.2[  ．直角坐标平面内，若 ),( yx 满足 4]1[]1[ 22  yx ，则 22 yx  的取值范围 是 ． 【答案】 (1,5) [10,20) 【解析】解：由[x-1]2+[y-1]2=4，得 [x-1]=±2， [y-1]=0 或 [x-1]=0， [y-1]=±2 然后得到可 行域 x2+y2 看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO2=1，BO2=5 此时 x2+y2∈[1，5）．CO2=10，DO2=20，此时 x2+y2 ∈[10，20）．所以 x2+y2∈[1，5）∪[10，20）．