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- 2021-04-23 发布
淄博一中2017-2018学年第一学期阶段性检测二
高二理科数学试题
命题人:肖萍 审核人:钱汝富 2018年1月
一、 选择题(本大题共12小题,共60分,只有一个选项正确)
1. 现要完成下列3项抽样调查:
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;
②科技报告厅有32排座位,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,邀请32名听众进行座谈;
③某中学高三年级有12个班,文科班4个,理科班8个,为了了解全校学生对知识的掌握情况,拟抽取一个容量为50的样本.
较为合理的抽样方法是 ( )
A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样
B. ①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样
C. ①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样
D. ①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样
2. 已知下列四个条件:①;②;③;④,能推出成立的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,已知事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是( )
A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡
4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币。如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币,直径22毫米,面额100元。为了测算图中军旗部分的面积,现向硬币内随机投掷100粒芝麻,已知恰有30粒芝麻落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是( )
A. mm2 B. mm2 C. mm2 D. mm2
5.
某市重点中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+n的值是( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
6. 双曲线 的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为300的直线与y轴和双曲线右支分别交于A,B两点,若点A平分F1B,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. 2 D.
7. 如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,当P在圆上运动时,则点M的轨迹C的方程是( )
A. B. C. D.
8. 下列命题:
①“在三角形中,若,则”的逆命题是真命题;
②命题或,命题,则是的必要不充分条件;
③“”的否定是“”;
④“若,则”的否命题为“若,则”;
其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
9. 小王计划租用A,B两种型号的小车安排30名队友(都有驾驶证)出去游玩, A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人,租金分别为1000元/辆和600元/辆,要求租车总数不超过12辆且不少于6辆,且型车至少要有1辆,则租车所需的最少租金为( )
A. 1000元 B. 2000元 C. 3000元 D. 4000元
10. 已知椭圆:的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线的距离等于,则椭圆E的焦距长为( )
A. B. C. D.
11. 已知不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是( ) A. m>-6 B. m<-6 C. m>-8 D. m<-8
12. 已知椭圆和双曲线有共同焦点F1 ,F2,P是它们的一个交点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则的最大值是( )
A. B. C. 2 D. 3
二、 填空题(本大题共4小题,共20分)
13.执行程序框图,该程序运行后输出的S的值是__________.
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,点在直线上,则____________
15.已知抛物线 上有一条长为的动弦,则弦的中点到轴的最短距离为 _________
16.下列四个命题:
①一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真;
②等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4成等比数列,则公差为﹣;
③已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为5+2;
④在△ABC中,若sin2A<sin2B+sin2C,则△ABC为锐角三角形.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
三、 解答题(本大题共6小题,共70分)
17. (本题满分10分)
(1)若抛物线的焦点是椭圆左顶点,求此抛物线的标准方程;
(2)某双曲线与椭圆共焦点,且以为渐近线,求此双曲线的标准方程.
18. (本题满分12分)
在ΔABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知c=, ΔABC的面积为,又
tanA+tanB=(tanAtanB-1)
(1)求角C的大小; (2)求a+b的值。
19.(本题满分12分)
已知; 方程表示焦点在轴上的椭圆.
(1)当时,判断的真假;(2)若为假,求的取值范围.
20.(本题满分12分)
某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.
(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图(如图);
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
①
0.350
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.000
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试,求每组各抽取多少位学生进入第二轮面试.
(3)在(2)的前提下,学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A考官进行面试,求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率.
21.(本题满分12分)
已知正项等比数列满足
(1) 求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和.
22. (本题满分12分)
已知椭圆的离心率为,其左、右焦点分别为,点是坐标平面内一点,且, (为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过该点?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由。
淄博一中2017-2018学年第一学期阶段性检测二答案解析
高二理科数学试题
一。选择题(本大题共12小题,共60分,只有一个选项正确)
1.【答案】A
【解析】在①中因为个体数量较少,采用简单随机抽样即可;
在②中,因为个体数量多,且已按座位自然分组,故采用系统抽样较好;
在③中,因为文科生和理科生的差异明显,故采用分层抽样较好.
故选A
2.【答案】C
【解析】 ①中,因为,所以,因此①能推出成立;
②中,因为,所以,所以,所以,因此②正确的;
③中,因为,所以,所以③不正确的;
④中,因为,所以,所以③正确的;
故选C.
3.【答案】A
【解析】由于,结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件,即“至多有一张移动卡”.选A。
4.【答案】B
【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为,得半径
则圆形金质纪念币的面积为
所以估计军旗的面积大约是
故答案选
5.【答案】C
【解析】试题分析::∵甲组学生成绩的平均数是88,
∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7,∴m=3
又乙组学生成绩的中位数是89,∴n=9,
∴m+n=12
6.【答案】A
【解析】因为AO分别是的中点,所以∥,故,在中, ,设,则,又,即,由得,所以, ,故选A.
7.【答案】A
【解析】设,则 ,所以 ,选A.
8.【答案】C
【解析】
试题分析:
对于①“在中,若,则 ” 的逆命题为“在中,若,则”,若,则,根据正弦定理可知,,所以逆命题是真命题,所以①正确;
对于②,由,或,得不到,比如,,不是的充分条件;若,则一定有,则,即能得到,或,是的必要条件,是的必要不充分条件,所以②正确;
对于③,“”的否定是“” ,所以③不对;
对于④“若,则”的否命题为“若,则”;所以④正确,
故选C.
9.【答案】D
【解析】设分别租用A,B两种型号的小车x辆、y辆,所用的总租金为z元,
则
其中x,y满足不等式组,
作出可行域:
当直线经过D点时,z最小,此时D(1,5)
∴租车所需的最少租金为
故选:D
10.【答案】B
【解析】
如图所示,设为椭圆的左焦点,连接,则四边形是平行四边形,可得,解得,取,可得点到直线的距离,即有,解得,,则焦距为,故选B.
11.【答案】A
【解析】不等式即: 恒成立,
则
结合可得: ,
由均值不等式的结论有:
,
当且仅当时等号成立,
据此可得实数的取值范围是.
本题选择A选项.
12.【答案】A
【解析】
如图,设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,则根据椭圆及双曲线的定义:
,
,
设,
则,在中根据余弦定理可得到
化简得:
该式可变成:
,
故选
二、 填空题(本大题共4小题,共20分)
13.【答案】-9
【解析】由程序框图得:
第一次运行: ,
第二次运行: ,
第三次运行: , ,不满足条件,输出
故答案为
14.【解析】点在直线上,所以.
.
15.【解析】由题意得抛物线的准线的方程为,过A作于,过B作于,设弦AB的中点为M,过M作于,则,设抛物线的焦点为F,则,即(当且仅当三点共线时等号成立),所以,解得。即弦的中点到轴的最短距离为。
16.【答案】①③
【解析】
试题分析:①利用命题的逻辑关系可判断;
②根据等差数列和等比数列的性质判断
③根据条件,进行变形即可;
④根据正弦定理得出边的关系,进行判断.
解:①一个命题的逆命题与其否命题为等价命题,故正确;
②等差数列{an}中,a1=2,a1,a3,a4成等比数列,则公差为﹣或零,故错误;
③已知a>0,b>0,a+b=1,则+=+=5++≥5+2,故正确;
④在△ABC中,若sin2A<sin2B+sin2C,可推出a2<b2+c2,A为锐角,但不能得出是锐角三角形,故错误.
故答案为①③.
二、 解答题(本大题共6小题,共70分)
17. (本题满分10分)
试题解析:
(1)椭圆左顶点为,
设抛物线的方程为,
可得,
计算得出,
则抛物线的标准方程为;
(2)椭圆的焦点为,
可设双曲线的方程为,
则,
由渐近线方程,
可得,
计算得出,
则双曲线的方程为.
17. (本题满分12分)
【解析】试题解析:(1),
,
又∵为的内角
,
∴.
(2)由,及得,
又, .
.
19.(本题满分12分)
【解析】试题解析:
因为,
所以若为真,则,
由得,
若为真,则,解得。
(1)当时, 为假命题,为真命题,故为真命题;
(2)若为真,则 ,
所以,若为假,则或,
故实数的取值范围为.
20.(本题满分12分)
[解析] (1)由题可知,第2组的频数为0. 35×100=35(人),第3组的频率为=0. 300,频率分布直方图如下图.
(2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为第3组:×6=3(人),第4组:×6=2(人),第5组:×6=1(人),所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
(3)设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,则从六位同学中抽两位同学有15种可能,如下:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),
(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),
(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).
第4组至少有一位同学入选的有:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1).共9种可能.所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为=.
21.(本题满分12分)
试题解析:
(1)设公比为,∵,∴,
∵
(2)∵
∴
∴
∴
即
故
22. (本题满分12分)
【解析】试题分析:(1)设的坐标,利用和求得c,通过椭圆的离心率求得a,最后利用a,b和c的关系求出b,则椭圆的方程可得.
(2)设出直线l的方程,与椭圆方程联立消去y,设, ,则可根据韦达定理表示出和,假设在y轴上存在定点,满足题设,则可表示出,利用,求出m的值
试题解析:(1)设, , ,则由,得;
由得,
即.
所以.
又因为,所以.
因此所求椭圆的方程为: .
(2)设动直线的方程为: ,
由得.
设, ,则, .
假设在轴上是否存在定点,满足题设,则, .
由假设得对于任意的, 恒成立,
即解得.
因此,在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过该点,
点的坐标为.