高考立体几何大题例题 7页

‎<一>常用结论 ‎1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.‎ ‎2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.‎ ‎3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.‎ ‎4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.‎ ‎5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.‎ ‎6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.‎ A1‎ E D1‎ C1‎ B1‎ D C B A ‎3、如图，在正方体中，是的中点，‎ 求证： 平面。‎ ‎5、已知正方体，是底对角线的交点.‎ 求证：(１) C1O∥面；(2)面． ‎ ‎9、如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，‎ 例4、如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．‎ ‎（I）求证：平面平面； ‎ ‎（II）求异面直线与所成角的大小．‎ 例5. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．‎ 例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．‎ A B C D ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ 例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.‎ B A C D O G H 例3． 如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离 证明：连接交于，连接，‎ ‎∵为的中点，为的中点 ‎∴为三角形的中位线 ∴‎ 又在平面内，在平面外 ‎∴平面 证明：（1）连结，设，连结 ‎∵ 是正方体 是平行四边形 ‎∴A‎1C1∥AC且 ‎ 又分别是的中点，∴O1C1∥AO且 是平行四边形 ‎ 面，面 ∴C1O∥面 ‎ ‎（2）面 ‎ 又， ‎ 同理可证， 又 面 ‎ ‎（1）求证：；（2）当，时，求的长。‎ 证明：（1）取的中点，连结，∵是的中点，‎ ‎∴，∵ 平面 ，∴ 平面 ‎ ‎∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，∵∴，又，∴[来源:学§科§网]‎ ‎ ∴，∴，由三垂线定理得 ‎ （2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴‎ ‎（I）由题意，，，‎ 是二面角是直二面角，‎ ‎，又，‎ 平面，‎ 又平面．‎ 平面平面．‎ ‎（II）作，垂足为，连结（如图），则，‎ 是异面直线与所成的角．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ 又．‎ 在中，．‎ 异面直线与所成角的大小为．‎ ‎（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，‎ 得底面．‎ 因为，所以，‎ 又，故为等腰直角三角形，，‎ 由三垂线定理，得． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，‎ 故，由，，，得 ‎，．‎ 的面积．‎ 连结，得的面积 设到平面的距离为，由于，得 ‎，解得．‎ 设与平面所成角为，则．‎ 所以，直线与平面所成的我为．‎ ‎（Ⅰ）取中点，连结．‎ A B C D O F 为正三角形，．‎ 正三棱柱中，平面平面，‎ 平面．‎ 连结，在正方形中，分别为 的中点， ， ．‎ 在正方形中，， 平面．‎ ‎（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．‎ ‎， 为二面角的平面角．‎ 在中，由等面积法可求得，‎ 又， ．‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）中，，．‎ 在正三棱柱中，到平面的距离为．‎ 设点到平面的距离为．‎ 由，得，‎ ‎．‎ 点到平面的距离为．‎ ‎ 如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，‎ 为的中位线，∥∥面,‎ 到平面的距离即为两异面直线间的距离.‎ 又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面 的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是 AB、BC、BD的中点，‎ 在Rt中，‎ 在Rt中，‎ 又 由于，即，解得 故CD与SE间的距离为.‎ 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.‎ 解答过程：‎ 解析一 ∥平面，‎ 上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求 点O平面的距离,‎ ‎，，平面,‎ 又平面 平面，两个平面的交线是,‎ 作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.‎ 在中，.‎ 又.‎ 即BD到平面的距离等于.‎ 解析二 ∥平面，‎ 上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.‎ 设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则 ‎ , ‎ 即BD到平面的距离等于.‎