2017-2018学年山东省武城县第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版 8页

‎2017-2018学年山东省武城县第二中学高二下学期第一次月考 数学试题（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 下列求导运算正确的是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎2. 一点沿直线运动，如果由起点起经过秒后距离，那么速度为零的时刻是 A．秒末 B．秒末 C．秒末 D．秒末 ‎3. 用反证法证明“若，则，，中至少有一个小于‎1”‎时，“假设”应为（ ）‎ A．假设，，至少有一个大于1 B．假设，，都大于1‎ C．假设a，b，c至少有两个大于1 D．假设a，b，c都不小于1‎ ‎4. ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 函数的递减区间为 A．（0，） B．（0，4） C．（﹣∞，） D．（，+∞）‎ ‎6. 设函数的导函数为，且，则等于 A． B． C． D．‎ ‎7. 已知有极大值和极小值，则的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 函数在上的 ‎ A．最小值为0，最大值为 B．最小值为0，最大值为 ‎ C．最小值为1，最大值为 D．最小值为1，最大值为 ‎ ‎9.若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是 A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）‎ ‎10. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则 函数的图象可能是（ ）‎ ‎ ‎ A. B . C. D. ‎ ‎11. 设函数在区间上是减函数，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 设函数是奇函数f（x）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（2，+∞）‎ C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0） D．（0，2）∪（2，+∞）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13. 曲线在点（0，1）处的切线方程是 ．‎ ‎14. 曲线与直线所围成图形的面积为　 　． ‎ ‎15. 一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第8行中的第3个数是________．‎ 第1行 ‎1‎ 第2行 ‎2 3‎ 第3行 ‎4 5 6 7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎16. 已知函数，现给出下列结论：‎ ‎①f（x）有极小值，但无最小值 ②f（x）有极大值，但无最大值 ‎③若方程f（x）=b恰有一个实数根，则b＞6e﹣3‎ ‎④若方程f（x）=b恰有三个不同实数根，则0＜b＜6e﹣3‎ 其中所有正确结论的序号为 .‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题10分）求过点(1，－1)的曲线的切线方程．‎ ‎18.（本小题12分）已知函数 ‎ ‎（1）若函数在处有极值为10，求的值；‎ ‎（2）若在上单调递增，求的最小值．‎ ‎19.（本小题12分）已知函数．‎ ‎（1）对任意实数，恒成立，求的最大值；‎ ‎（2）若函数恰有一个零点，求a的取值范围．‎ ‎20.（本小题12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：‎ 已知甲、乙两地相距‎100千米. ‎ ‎（Ⅰ）当汽车以‎40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？‎ ‎（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？‎ ‎21.（本小题12分）设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．‎ ‎22.（本小题12分）已知，其中是自然常数，‎ ‎（1）讨论时, 的单调性、极值；‎ ‎ （2）求证：在（Ⅰ）的条件下，;‎ ‎（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎ 高二数学月考试题答案（理科）‎ ‎ ‎ 一． 选择题：1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.A 二．填空题：13.2x﹣y+1=0 14. 15.130 16.②④‎ 三．解答题：‎ ‎17．解：　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.------2分 ‎ 故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，--------4分 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，‎ 得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)-------6分 解得x0＝1或x0＝－，------8分 故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．‎ 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. ----------------10分 ‎18.解：（1）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，------1分 又函数在点x=2处取得极值c﹣16‎ ‎∴，即，-----3分 化简得解得a=1，b=﹣12------4分 ‎（2）由（I）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）‎ 令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2， x2=2------5分 当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；‎ 当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；‎ 当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；-----7分 由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值 f（2）=c﹣16，------9分 由题设条件知16+c=28得，c=12------10分 此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4-----11分 因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4 ------12分 ‎19.解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6----------1分 ‎=3（x﹣）2﹣≥﹣，----------2分 对任意实数x，f'（x）≥m恒成立，可得m≤f′（x）的最小值，---------3分 即有m≤﹣，可得m的最大值为﹣；---------4分 ‎（2）f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），---------5分 f'（x）＞0⇒x＞2或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜2，-------7分 ‎∴f（x）在（﹣∞，1）和（2，+∞）上单增，在（1，2）上单减，‎ ‎∴，---------9分 函数f（x）恰有一个零点，可得﹣a＜0或2﹣a＞0，---------10分 解得a＜2或a＞．可得a的取值范围是（﹣∞，2）∪（，+∞）．------12分 ‎20.解：（Ⅰ）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，…………2分 要耗油………………………4分 答当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升……5分 ‎（Ⅱ）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设油耗为升，‎ 依题意得（）…7分 方法一则　　　（）……………8分 令，解得，列表得 ‎（0，80）‎ ‎80‎ ‎（80，120]‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎……………10分 所以当时，有最小值．………………11分 ‎ 答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升．………12分 ‎21.解：（I）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a，……1分 若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．…3分 若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0；‎ 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0；‎ 所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．…5分 ‎（II）由于a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1‎ 故当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①……7分 令g（x）=，则g′（x）=……8分 由（I）知，当a=1时，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，‎ 而h（1）＜0，h（2）＞0，……9分 所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，‎ 故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）‎ 当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；‎ 所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．……10分 又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）‎ 由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2． ……12分 ‎22.解：（Ⅰ）， ……1分 ‎∴当时，，此时单调递减 当时，，此时单调递增 ……3分 ‎∴的极小值为 ……4分 ‎（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，‎ ‎∴ ， ……5分 令，， ……6分 当时，，在上单调递增 ……7分 ‎∴ ‎ ‎∴在（1）的条件下， ……9分 ‎（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，‎ ‎ ……9分 ‎① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值. ……10分 ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎，，满足条件. ……11分 ‎③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. ----------------12分