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- 2021-04-23 发布
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南康中学2019～2020学年度第一学期高一第二次大考
数 学 试 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.集合{直线}, 集合{抛物线}, 则集合元素的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 0个、1个或2个
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，由此能求出集合元素的个数．
【详解】解：∵集合M＝{直线}，集合N＝{抛物线}，
，
∴集合元素的个数为0．
故选：A．
【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题．
2.给定映射，其中则时不同的映射的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
给每一个原象找到对应的象，即为一个映射，通过列举法可求出当的象为1时映射个数．
【详解】解：依题意，当的象为1时，若的象为1，则的象为1或2；若的象为2，则的象为1或2，故则时不同的映射的个数是4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了映射的概念，考查了映射的个数的计算，主要考查分析解决问题的能力，属于基础题．
3.函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数在时的增区间，从而得出结论．
【详解】解：函数的单调增区间，即在时的增区间，
再根据一次函数的性质可得，在时的增区间为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．
4.已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.
【详解】，
，
，
，故选B.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知函数定义域，可得，求解分式不等式得答案．
【详解】解：∵函数的定义域为，
∴由，得，则．
∴函数的定义域为．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
6.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设，，当时，，当时，，函数值域是，选B.
7.已知函数，（其中），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得，然后依次代入分段函数解析式求得答案．
【详解】解：∵，∴，
，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了分段函数的函数值的求法，考查了对数的运算性质，是基础题．
8.已知函数，且过点，则函数的图像必过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意求出的值，代入对数函数，进而可得其必过的点．
【详解】解：∵函数，且过点，
，则函数，
令，求得，
可得函数的图象必过，
故选：D．
【点睛】本题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题．
9.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的图像，得到，，进而可得出结果.
【详解】由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.
10.函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域是，转化为恒成立，利用判别式进行求解即可．
【详解】解：∵的定义域为，
∴恒成立，
即判别式，
得，
即实数的取值范围是
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数定义域的应用，结合对数函数成立的条件转化为一元二次不等式恒成立是解决本题的关键．比较基础．
11.已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式可得，进而可得，据此结合对数的运算性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，函数，则，
则，
则有，
若，则，
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
12.已知函数，且，，集合，则（ ）
A. ，都有
B. ，都有
C. ，使得
D. ，使得
【答案】A
【解析】
试题分析：∵函数，且，，故有且，∴
，即，且，即，∴，又，∴为的一个零点，由根与系数的关系可得，另一个零点为，∴有，∴，∴恒成立．
考点：函数的零点、函数的性质．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.已知，则______________；
【答案】
【解析】
【分析】
利用配凑法可求的解析，从而得到的解析式.
【详解】因为，故，
所以，故，填.
【点睛】函数解析式的求法有换元法、配凑法、函数方程法等，注意根据复合函数的形式选择合适的方法.
14.已知函数 是偶函数，则实数的值为________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意可得函数的定义域为，且有，运用对数的运算性质，化简可得的值．
【详解】解：函数偶函数，的定义域为，
即有，
，
可得
，
即有恒成立，
所以恒成立，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
15.已知是R上增函数，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：根据题意，是R上的增函数，
则有，解可得，即的取值范围为；
故答案为：．
【点睛】本题考查分段函数性质，涉及函数单调性的定义，属于基础题．
16.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第97页B组第3题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：
①同学甲发现：函数是偶函数；
②同学乙发现：对于任意的都有；
③同学丙发现：对于任意的，都有；
④同学丁发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足.
其中所有正确研究成果的序号是__________．
【答案】②③.
【解析】
【分析】
①利用奇偶函数的定义判断；
②只需要计算等式两端验证即可；
③只需要计算等式两端验证即可；
④根据复合函数单调性判断单调性即可．
【详解】解：①定义域关于原点对称，，是奇函数，①错误；
②，②正确；
③由于，
且，则③正确；
④，由于单调递减，单调递增，所以单调递减，，④错误；
故答案为②③．
【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.已知全集集合，或， ，
（1）求;
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据条件直接由交集运算求出；
（2）在（1）的基础上，由补集定义求出，再由，分和，两种情况求出实数的取值范围．
【详解】（1），或，
，
（2）由已知或，
则，
当，时，，满足，
当时，只需，即 ,
综上可知.
【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
18.计算：（1）；
（2）.
【答案】（1）17；（2）12.
【解析】
【分析】
（1）直接利用指数运算性质即可求解；
（2）结合对数的运算性质及换底公式即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）
【点睛】本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．
19.已知幂函数在上单调递增.
（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使得函数在区间[0,1]上的最大值为5, 若存在, 求出m的值; 若不存在, 请说明理由.
【答案】（1）k=1,（2）
【解析】
试题分析：（1）由幂函数定义得，再根据单调性得，解得
k=1，即得函数的解析式；（2）化简函数，为一个二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系讨论最大值取法，再根据最大值为5解得m的值
试题解析：(1)∵
∴k=1 ∴
(2)
①，即
∴
又(舍)
②
∴
20.进入21世纪以来，南康区家具产业快速发展，为广大市民提供了数十万就业岗位，提高了广大市民的收入，也带动南康和周边县市的经济快速发展.同时，由于生产设备相对落后，生产过程中产生大量粉尘、废气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现，工业废气、粉尘等污染物排放是雾霾形成和持续的重要原因，治理污染刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气、粉尘处理设备，使产生的废气、粉尘经过过滤后再排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气粉尘污染物的数量（单位：）与过滤时间 (单位：)间的关系为(均为非零常数，为自然对数的底数)其中为时的污染物数量.若过滤后还剩余的污染物.
（1）求常数的值.
（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间（精确到.参考数据：
）
【答案】（1）（或）；（2）42小时.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，两边取对数可得的值；
（2）令，即，两边取对数即可求出的值．
【详解】解：（1）由题意可知，
故，两边取对数可得：，
即．
（2）令，
故，即，
，
．
∴污染物减少到40%至少需要42小时．
【点睛】本题考查了函数值的计算，考查对数的运算性质，属于中档题．
21.已知函数（）在区间上有最大值和最小值，设．
（1）求、的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的性质判断的单调性，根据最值列出方程组解出，
；
（2）化简不等式，分离参数得在上恒成立，设，利用换元法得出在上的最小值即可得出的范围.
试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．
（2）由已知可得，所以可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故， 所以的取值范围是．
点睛：本题考查了二次函数的性质，函数最值的计算，函数恒成立问题研究，属于中档题；恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程.
22.定义对于函数， 若在定义域内存在实数， 满足，则称为“局部奇函数”.
（1）已知二次函数,试判断是否为定义域上的“局部奇函数”若是，求出满足的的值； 若不是， 请说明理由；
（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1），“局部奇函数；（2）.
【解析】
试题分析：（1）若为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程有解的实数的取值范围，可得答案.
试题解析：（1） 当，方程即，有解，所以为 “局部奇函数”.
（2）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解.令,则，设，则
在上为减函数，在上为增函数，（要证明），所以当时，，所以，即.
考点：二次函数的性质.
【方法点睛】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力.在该种题型中主要考查两个方面一是新定义判定的考查；二是新定义性质的考查，理解局部奇函数的定义，对按定义验证即可；在（2）中考查了局部奇函数的性质，将题意转化为在上有解的问题.