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- 2021-04-23 发布
2012年福建省普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= V=Sh
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面上，复数的对应点所在象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．平面向量，，若与共线，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
3．双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．5
4．若集合，， 则“”的充要条件是
A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是
A．2 B． C． D．3
6．已知是公差为的等差数列，且成等比数列，则数列的前9项和等于
．0 ．8 ．144 ．162
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是
A．或 B．或 C．或 D．或
8．设，若关于的不等式在恒成立， 则 的最小值为
A． 16 B． 9 C． 4 D． 2
9．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是
． ． ． ．
10．定义在R上的函数及其导函数 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数，有．现给出如下结论：
①；②；
③；④.
其中结论正确的个数是
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11． .
12．展开式的常数项是 ．
13．圆C过坐标原点，圆心在轴的正半轴上．若圆C被直线截得的弦长为,则圆C的方程是__________．
14．在平面直角坐标系中，不等式组（）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m的最大值是 .
15．对于非空实数集，记．设非空实数集合，若时，则． 现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；
③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数，使得对任意的，恒有，
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分13分)
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
------①
------②
由①+② 得------③
令 有
代入③得 .
(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.
(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)
17. (本小题满分13分)
在直角梯形ABCD中，AD//BC，,,如图（1）．把沿
翻折，使得平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点为线段中点，求点到平面的距离；
（Ⅲ）在线段上是否存在点N，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18. (本小题满分13分)
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别
PM2.5（微克/立方米）
频数（天）
频率
第一组
(0,15]
4
0.1
第二组
(15,30]
12
0.3
第三组
(30,45]
8
0.2
第四组
(45,60]
8
0.2
第三组
(60,75]
4
0.1
第四组
(75,90)
4
0.1
(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望（）．
19. (本小题满分13分)
已知为平面内的两个定点，动点满足,记点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设点为坐标原点，点，，是曲线上的不同三点，且．
（ⅰ）试探究：直线与的斜率之积是否为定值？证明你的结论；
（ⅱ）当直线过点时，求直线、与轴所围成的三角形的面积．
20．(本小题满分14分)
设函数的图象是由函数的图象经下列两个步骤变换得到：
（1）将函数的图象向右平移个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
（2）将函数的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）判断方程的实根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）设数列满足，试探究数列的单调性，并加以证明．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知向量在矩阵变换下得到的向量是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求曲线在矩阵对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点的极坐标为，曲线的参数方程为．
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点到曲线上的点的距离的最小值．
（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
设实数满足．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）若，且，求的最大值．
2012年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．A； 7．D； 8．C； 9．B； 10．B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．
11．4 ； 12．10； 13．； 14．； 15．①④．
三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．
解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①
，------②……………………………………………2分
①-② 得.------③………………………………3分
令有，
代入③得.………………………………………6分
(Ⅱ)由二倍角公式,可化为
,……………………………………………9分
所以.……………………………………………10分
设的三个内角A,B,C所对的边分别为，
由正弦定理可得.…………………………………………12分
根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.……………………………………………13分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为
，……………………………………………8分
因为A,B,C为的内角，所以，
所以.
又因为，所以,
所以.
从而.……………………………………………10分
又,所以，故.……………………………………………12分
所以为直角三角形. ……………………………………………13分
17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．
解法一：（Ⅰ）由已知条件可得．………………………………2分
∵平面，．
∴．……………………………………3分
又∵，∴．……………………………………4分
（Ⅱ）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得．
∴．………………6分
设平面的法向量为，
则∴
令，得平面的一个法向量为，
∴点M到平面的距离．……………………………………………8分
（Ⅲ）假设在线段上存在点N，使得与平面所成角为．……………………9分
设，则，
∴，
又∵平面的法向量且直线与平面所成角为，
∴，……………………………………………11分
可得，
∴（舍去）．
综上，在线段上存在点N，使与平面所成角为，此时．…………13分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由已知条件可得，，∴．
由（Ⅰ）知，即CD为三棱锥C-ABD的高，又CD=2，
∴，
又∵点为线段中点，
∴ 点M到平面的距离等于点Ｂ到平面的距离的，…………………………6分
∴，
∵，AD=,CD=2，∴，
设点M到平面的距离为，则，即
解得=，∴设点M到平面的距离等于.…………………………………8分
（Ⅲ）同解法一．
解法三：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵点为线段中点，
∴ 点M到平面的距离等于点Ｂ到平面的距离的，………………………………6分
由已知条件可得，由（Ⅰ）知，
又，∴ ，
∴点Ｂ到平面的距离等于线段的长．
∵，∴设点M到平面的距离等于……………………………………………8分
（Ⅲ）同解法一．
18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．
解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
（微克/立方米）．…………………6分
因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8分
（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.………………9分
随机变量的可能取值为0,1,2.且.
所以，…………………………………………11分
所以变量的分布列为
0
1
2
…………………………………………12分
（天）,或（天）. ……………………13分
19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、
运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．
解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点到两定点的距离之和为定值，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆．…………………………………………2分
又，，所以，
故所求方程为．…………………………………………4分
（Ⅱ）设，，．
由，得，．…………………………5分
（ⅰ）可设直线的方程为，
代入并整理得，，
依题意，，则 ，，
从而可得点的坐标为，．
因为，所以直线与的斜率之积为定值．……………………………8分
（ⅱ）若轴时，,由，
得点，所以点不在椭圆上，不合题意．
因此直线的斜率存在．……………………………9分
由（ⅰ）可知，当直线过点时, 有，点的坐标为．
代入得，，即，
所以． ……………………………11分
（1）当时，由（ⅰ）知，，从而．
故、及轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为，且底边上的高
，所求等腰三角形的面积．
（2）当时，又由（ⅰ）知，，从而，
同理可求直线、与轴所围成的三角形的面积为．
综合（1）（2），直线、与轴所围成的三角形的面积为．…………………13分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设，，．
由得：，．………………………5分
（ⅰ）因为点，在椭圆上，所以有：，，
两式相减，得，
从而有．
又，，
所以，即直线与的斜率之积为定值．………………………………8分
（ⅱ）同解法一．
20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.
解:(Ⅰ) …………………2分
…………………………3分
,…………………………4分
.…………………………5分
(Ⅱ)方程有且只有一个实根. …………………………6分
理由如下：
由(Ⅰ)知，令,
因为,又因为,所以.
所以在至少有一个根. …………………………7分
又因为,
所以函数在R上单调递减,
所以函数在R上有且只有一个零点，
即方程有且只有一个实根. …………………………9分
(Ⅲ)因为
又，因为，所以，所以．
由此猜测,即数列是单调递增数列. …………………………11分
以下用数学归纳法证明:且时,成立.
(1)当时,,显然有成立.
(2)假设时,命题成立，即．…………………………12分
则时,，
因为，所以．
又在上单调递增，，
所以，所以，
即，
即时,命题成立. …………………………13分
综合(1) ,(2)，且时, 成立.
故数列为单调递增数列. …………………………14分
21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分．
解：（Ⅰ）因为，
所以，即=1．…………………………………………3分
（Ⅱ）因为，所以．…………………………………4分
设曲线上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像是.
由， ……………………………………………5分
所以得代入曲线得．………………………6分
由的任意性可知,
曲线在矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程为. ………………7分
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．
解：（Ⅰ）由点的极坐标为得点的直角坐标为，
所以直线的直角坐标方程为．…………………………………………3分
（Ⅱ）由曲线的参数方程
化为普通方程为，……………………………5分
圆心为，半径为．
由于点M在曲线C外，故点到曲线上的点的距离最小值为．…………7分
（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲
本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．
解：（Ⅰ）由得，即．
所以可化为，即，解得．
所以的取值范围．…………………………………………4分
（Ⅱ）因为，
所以，…………………………………6分
当且仅当时，等号成立．
故的最大值为27．…………………………………………7分