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- 2021-04-23 发布
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数学试题（文科）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．过两点A（4，y），B（2，-3）的直线的倾斜角是135°，则y等于 （ ）
A．1 B．5 C．-1 D．-5
4．函数（且）的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
5．若奇函数在上为增函数，且有最小值1，则它在上 （ ）
A．是减函数，有最小值1
B．是增函数，有最小值-1
C．是减函数，有最大值1
D．是增函数，有最大值-1
6．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A． B．或2 C． D．0
8．下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=﹣ C． D．y=
9．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
A． B． C． D．
11．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．设函数是R上的奇函数，当时，，则的零点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．__________．
14．过点A（－1,0）且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为________．
15．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，实数满足，则的取值范围为________．
16．已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球，若正三棱柱的体积是，则球的表面积为_____．
三、解答题
17．（10分）已知全集集合.
（1）求；
（2）若求的取值范围.
18．（12分）（1）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程.
（2）求经过点（1,2）且在x轴上截距等于y轴上截距的直线方程；
19．（12分）已知函数为偶函数，且有一个零点为2.
（1）求实数a，b的值.
（2）若在上的最小值为－5，求实数k的值.
20．（12分）已知函数且点（4,2）在函数f（x）的图象上.
（1）求函数f（x）的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）<1的解集；
21．（12分）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于， 的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
22．（12分）已知函数定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）解关于的不等式．
数学（文科）参考答案
1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B 9．D 10．A 11．D 12．C
13．5 14． 15． 16．
17．（1）， 或； （2）.
【解析】
⑴根据集合的交集，补集和并集的运算即可得到答案
⑵集合中含有参数，则分为空集和不为空集两种情况，再由子集的定义求出的范围，即可求得答案
【详解】
（1） ，
，
，或
（2）①若为空集，则，解得a.
②若不是空集，则，解得
综上所述， , 即的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算和子集的定义应用，对于集合含有参数一定注意集合为空集时，故需要分类求解，属于中档题。
18．（1）
（2）或；
【解析】
【分析】
（1）先求出交点坐标，再根据两直线垂直求出所求直线的斜率，根据点斜式方程即可求出结果.
（2）当直线不过原点时，设直线的方程为（或），把点代入求得，即可求得直线的方程，当直线过原点时，直线的方程为，综合可得答案；
【详解】
（1）由得，交点为（2,2）.
设所求直线 代入点（2,2）得，C=-2
故所求直线方程为.
（2）当直线过原点时，直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为或
直线经过即
直线方程为
综上所述：直线方程为或
【点睛】
该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有直线方程的求解，直线相交时交点坐标的求法，两直线垂直时斜率所满足的关系，最关键的是截距相等时对应的情况包括过原点和不过原点两种情况，不要漏解，这是易错点.
19．（1），（2）
【解析】
（1）根据偶函数性质求a，再根据零点求b，（2）根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分类讨论函数最小值取法，再根据最小值求k的值.
【详解】
（1）因为函数为偶函数，所以，即因此，又因为零点为2，所以
（2）,
当<0时，在上的最小值为,舍去，
当>3时，在上的最小值为,舍去，
当03时，在上的最小值为,因为3，所以，
综上.
【点睛】
研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.
20．（1）见解析； （2）；
【解析】
【分析】
（1）根据点在函数的图象上得到，于是可得解析式，进而可画出函数的图象；（2）将不等式化成不等式组求解可得所求；
【详解】
（1）∵点在函数的图象上，
∴，
∴．
∴ .
画出函数的图象如下图所示．
（2）不等式等价于或
解得，或，
所以原不等式的解集为．
【点睛】
（1）本题考查函数图象的画法和图象的应用，根据解析式画图象时要根据描点法进行求解，画图时要熟练运用常见函数的图象．
（2）根据方程根的个数（函数零点的个数）求参数的取值时，要注意将问题进行转化两函数图象交点个数的问题，然后画出函数的图象后利用数形结合求解．
21．（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
【解析】
【详解】
分析：（1）先证,再证，进而完成证明。
（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可。
详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．
MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．
点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM
中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题。
22．（1）；（2）在上为增函数，理由详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数在处有定义则有以及计算出的值；
（2）利用定义法证明函数的单调性：设未知数，作差，变形，判断正负，下结论；
（3）根据单调性和奇偶性将函数值关系转变为自变量间的关系，完成求解即可.
【详解】
（1）函数是定义在上的奇函数，，
又．，，．
（2）在上为增函数，理由如下.
设，则，，，，
在在上为增函数，
（3），
，
又在在上为递增的奇函数，
，
不等式的解集为．
【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，难度一般.利用函数的单调性和奇偶性解不等式时，可先通过奇偶性将不等式的形式变形为：，然后再根据单调性得到与的的大小关系，接着即可求解不等式解集.