2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第5讲平面向量练习 18页

第5讲　平面向量 ‎[考情分析]　平面向量是高考的必考内容，近几年命题较稳定，常以客观题的形式出现，主要考查向量的线性运算、坐标运算及向量数量积的性质、利用向量数量积求夹角、模等．有时也作为工具参与三角函数、解析几何等综合命题，属于中、低档难度题．‎ 热点题型分析 热点1　平面向量的概念与线性运算 ‎1.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．‎ ‎2.利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理来求解；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程求解．‎ 如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于点E.若O＝λ，则λ＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　解法一：设O＝a，O＝b，由题意得D＝O－O＝O＋A－O＝O＋B－O＝O＋O－O－O＝2O－O＝2a－b.‎ - 18 -‎ 因为O＝λ＝λa，设D＝μ＝2μ a－μb，又O＝O＋D，所以λa＝b＋2μ a－μb＝2μ a＋b，所以所以λ＝.‎ 解法二：由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，过点A作AF∥OB交CD于点F(图略)，则＝＝，即AF＝BD＝OD，故AE＝OE，则OE＝OA，又O＝λ，故λ＝.‎ 在运用向量共线定理时，向量a与b共线，即存在实数λ保持a＝λb成立的前提条件是b≠0.‎ 热点2　平面向量的数量积 ‎1.平面向量的数量积的运算的两种形式 ‎(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．‎ ‎(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．‎ ‎2.夹角公式(θ为向量a，b的夹角，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))‎ cosθ＝＝.‎ ‎3.模|a|＝＝.‎ ‎4.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎1.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cosθ－|b|2＝0，∴cosθ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.故选B.‎ - 18 -‎ ‎2.(2017·天津高考)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．‎ 答案　 解析　由题意知∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，·＝3×2×cos60°＝3，‎ ＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋，‎ ‎∴·＝·(λ－)‎ ‎＝·－2＋2‎ ‎＝×3－×32＋×22‎ ‎＝λ－5＝－4.‎ 解得λ＝.‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 答案　2 解析　|a＋2b|＝ ‎＝ ‎＝ ＝＝2.‎ (数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.‎ - 18 -‎ ‎1.要注意夹角的取值范围：0°≤θ≤180°，第1题容易出现的问题有两个：一是向量模的平方的正确运算；二是特殊角的余弦值的求法，易错为θ＝30°.‎ ‎2.对于第2题这类涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素．本题中，由于∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，故可选A和A作为基底．求解该题时容易出现两个错误：一是不能通过向量的运算把A用A和A线性表示；二是两向量的差A－A＝B，容易把差向量的方向颠倒导致出错.‎ ‎3.平面向量中涉及到有关模长的问题，通常是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度．第3题容易对向量的模与数量积的关系理解不清导致错误，如认为|a＋2b|＝|a|＋|2b|.‎ 热点3　交汇题型 平面向量具有代数形式与几何形式的“双重性”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，充分体现平面向量的载体性与工具性．‎ 交汇点一　平面向量与三角 典例1　(2019·江西新高考联盟质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝，n＝(cosC，cosA)，且m·n＝bcosB，则B的值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　∵m·n＝cosC＋cosA，且m·n＝bcosB，‎ ‎∴cosC＋cosA＝bcosB，即acosC＋ccosA＝2bcosB.‎ 由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，‎ 则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB.‎ ‎∵00，b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足(O＋)·＝0(O为坐标原点)，且3||＝4|PF2|，则双曲线的离心率为________．‎ 答案　5‎ 解析　如图所示，由于点P在双曲线右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，‎ 又3|PF1|＝4|PF2|，解得|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，则由(O＋)·＝0，即(O＋)·(－)＝0，则有|O|2＝||2，则在△PF1F2中，|OP|＝|OF2|＝|OF1|，所以∠F1PF2＝90°，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即有64a2＋36a2＝4c2，c＝5a，故e＝＝5.‎ 真题自检感悟 ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋)＝－，故选A.‎ - 18 -‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A.－2 B．－ C．－ D．－1‎ 答案　B 解析　(解析法)‎ 建立坐标系如图1所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)．‎ 设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，‎ ‎∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.‎ (几何法)‎ 如图2所示，＋＝2(D为BC的中点)，则 ·(＋)＝2·.‎ - 18 -‎ 要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||·||的最大值．‎ 又||＋||＝||＝2×＝，‎ ‎∴||||≤2＝2＝，‎ 当且仅当|P|＝|P|＝时等号成立，∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.故选B.‎ ‎3．(2019·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．‎ 答案　 解析　解法一：如图1，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点．又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有＝＝(＋)，＝－＝－，所以6·＝(＋)·＝2－2＋·＝·，整理可得2＝32，所以＝.‎ - 18 -‎ 解法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．‎ 设E(1,0)，C(a，b)，‎ 则B(3,0)，D.‎ ⇒O.‎ ‎∵·＝6·，‎ ‎∴(3,0)·(a，b)＝6·(a－1，b)，‎ 即3a＝6，‎ ‎∴a2＋b2＝3，∴AC＝.∴＝＝.‎ 专题作业 一、选择题 ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)‎ A.4 B．3 C．2 D．0‎ 答案　B 解析　因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，故选B.‎ ‎2.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ - 18 -‎ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋，故选A.‎ ‎3.(2019·百校联盟TOP20联考)已知a＝(x,1)，b＝(－2，4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)‎ A.8 B．10 C．11 D．12‎ 答案　D 解析　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.故选D.‎ ‎4.(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，因为a，b均为单位向量，所以10－6a·b＝10＋6a·b⇔a·b＝0⇔a⊥b，即“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．故选C.‎ ‎5.(2019·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　A 解析　根据平行四边形法则作出a＋2b，如图所示：‎ - 18 -‎ 因为|a|＝2|b|＝1，所以平行四边形为菱形，又因为向量a，b的夹角为，所以a＋2b与b的夹角为.故选A.‎ ‎6.(2019·永州模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)‎ A.1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　如图所示，设＝k，所以＝－＝k－，所以·＝·(k－)＝k2－·＝25k－5×6×＝25k－15＝－5，解得k＝，所以||＝||＝3.故选C.‎ ‎7.(2019·四省联考诊断)若向量a＝(1,2)，b＝(1，m)，且a－b与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(0,2) B．(－∞，2)‎ C.(－2,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)‎ 答案　D 解析　a－b＝(0,2－m)，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得＝<0，即2m－m2<0，解得m<0或m>2.故选D.‎ ‎8.(2019·长沙长郡中学调研)已知△ABC中，2＋－5＝0，延长BD交AC于E，则 - 18 -‎ 等于(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　D 解析　取特殊三角形，令A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，则有D，直线BD的方程为＝，‎ 化简得y＝－x＋，令x＝0，解得y＝，‎ 所以E，＝＝，故选D.‎ ‎9.(2019·晋江四校期中)点M是△ABC的边BC上任意一点，N在线段AM上，且＝x＋y，若x＋y＝，则△NBC的面积与△ABC的面积的比值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，设＝λ(0<λ<1)，‎ ＝μ(μ≥1)，‎ ‎∴＝＝(＋)＝(＋λ)‎ ‎＝(＋λ－λ)＝＋，‎ - 18 -‎ ‎∵＝x＋y，且x＋y＝，‎ ‎∴＋＝＝，则μ＝3.‎ ‎∴＝3，则＝，‎ 又∵△NBC与△ABC的底边BC相等，‎ ‎∴△NBC的面积与△ABC的面积的比值是＝.故选C.‎ ‎10.(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)‎ A.－1 B.＋1 ‎ C．2 D．2－ 答案　A 解析　设e＝(1,0)，b＝(x，y)，‎ 则b2－4e·b＋3＝0⇒x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1.‎ 如图所示，设a＝O，b＝O ，‎ ‎∴|a－b|min＝|CD|－1＝－1(其中CD⊥OA)．故选A.‎ ‎11．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则A·B的最小值为(　　)‎ - 18 -‎ A. B. C. D．3‎ 答案　A 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，‎ D，‎ 因为点E在CD上，则D＝λ(0≤λ≤1)，设E(x，y)，‎ 则＝λ，‎ 即据此可得，E，‎ 且A＝，B＝，‎ 由数量积的坐标运算法则可得，A·B＝×＋λ×，‎ - 18 -‎ 整理可得，A·B＝(4λ2－2λ＋2)(0≤λ≤1)，‎ 结合二次函数的性质可知，当λ＝时，A·B取得最小值.故选A.‎ ‎12.已知向量，满足||＝||＝1，⊥，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若M为AB的中点，并且||＝1，则λ＋μ的最大值是(　　)‎ A.1－ B．1＋ C. D．1＋ 答案　B 解析　因为向量，满足||＝||＝1，⊥，所以将A，B放入平面直角坐标系中，令A(1,0)，B(0，1)，又因为M为AB的中点，所以M.‎ 因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，‎ 所以＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝λ＋μ，即点C(λ，μ)，‎ 所以＝，因为||＝1，‎ 所以2＋2＝1，‎ 即点C(λ，μ)在以为圆心，1为半径的圆上．‎ 令t＝λ＋μ，则μ＝t－λ，将其代入圆2＋2＝1的方程，消去μ得到关于λ的一元二次方程：‎ ‎2λ2－2tλ＋＝0，‎ 所以Δ＝(2t)2－4×2≥0，‎ 解得－＋1≤t≤＋1，即λ＋μ的最大值是1＋，故选B.‎ 二、填空题 ‎13.已知向量O⊥A，|O|＝3，则O·O＝________.‎ 答案　9‎ 解析　∵O⊥A，|O|＝3，∴O·O＝O·(O＋A)＝O2＋O·A＝O2＝9.‎ - 18 -‎ ‎14.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)∥(2a＋b)，则λ＝________；若(a＋μb)⊥(2a＋b)，则μ＝________.‎ 答案　　－ 解析　因为(a＋λb)∥(2a＋b)，所以存在唯一实数n，使得a＋λb＝n(2a＋b)，所以1＝2n，λ＝n，解得λ＝.因为(a＋μb)⊥(2a＋b)，且向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，所以(a＋μb)·(2a＋b)＝2a2＋(1＋2μ)a·b＋μb2＝2＋1＋2μ＋4μ＝0，解得μ＝－.‎ ‎15.(2019·新疆昌吉教育共同体月考)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝－，则·的值为________．‎ 答案　 解析　以AC的中点为坐标原点，AC所在的直线为x轴，AC边上的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，C(－1,0)，B(0，)，＝(2,0)，＝(1，)，‎ 所以＝－＝(1，)－(2,0)＝，所以＝＋＝(－2,0)＋＝，‎ 所以＝＋＝(－1，－)＋ ‎＝，‎ 所以·＝·＝.‎ ‎16.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为线段BC上的点，则A·D - 18 -‎ 的最小值为________．‎ 答案　 解析　解法一：设B＝λ(0≤λ≤1)，则A＝A＋λ，D＝D＋C＝A＋(λ－1)，‎ ‎∴A·D＝(A＋λ)·[A＋(λ－1)]．‎ 又|A|＝2，|B|＝1，且AB⊥BC即A·B＝0，‎ ‎∴A·D＝4＋λ(λ－1)＝λ2－λ＋4‎ ‎＝2＋.‎ 当λ＝时，A·D最小为.‎ 解法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，‎ 设E(2，y)(0≤y≤1)，‎ 则A＝(2，y)，D＝(2，y－1)，‎ ‎∴A·D＝y2－y＋4＝2＋.‎ - 18 -‎ ‎∴当y＝时，A·D最小为.‎ - 18 -‎