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- 2021-04-23 发布
大连市普兰店区第二中学2017—2018学年上学期竞赛试卷
高二数学（理科）试卷
总分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1、设集合，若，则 （ ）
A． B. C. D.
2、设，则“是“”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C． D.
4、将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
5、设点是所在平面内一点，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
6．设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）
A. 8 B. C. 4 D. 1
7、若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
8、下面程序执行后输出的结果是（ ）
A. 4 B. C. D.
9、在棱长为的正方体中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为 ( )
A. B. C. D.
10、若偶函数在上单调递增， ，则满足（ ）
A. B. C. D.
11、已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A B C. D.
12、数列满足，则数列的前60项和为（ ）
A 3690 B 3660 C 1845 D 1830
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、已知是夹角为的两个单位向量，，，若，则的值为 。
14、已知实数 满足，则的最小值为_______________。
15、在中，内角的对边分别为，且满足，则的取值范围为______________。
16、已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是______________。
三、解答题（共70分）
17、（本小题12分）
已知.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中， ， ，若的最大值为，求的面积.
18、（本小题10分）
已知函数，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围。
19、（本小题12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，
平面，已知AE=DE=2，为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积．
20、（本小题12分）
数列的前项和为，已知， ，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和。
21、（本小题12分）
已知函数
（1）判断函数的奇偶性并给出证明；
（2）对于，恒成立，求实数的取值范围。
22、（本小题12分）
已知圆C：，一动直线过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，直线与直线：相交于N.
(1)求证：当与垂直时，必过圆心C；
(2)当PQ＝2时，求直线的方程；
(3)探索·是否与直线的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
高二数学（理科）竞赛答案
选择题：CDBBA、C DAAC、BD
填空题：13、 14、 15、 16、
17、试题解析：（1） ，
当时，得
∴的单调递增区间为，
（2）∵，由正弦定理得，
∵的最大值为∴，
∴， 又∴
在中，由余弦定理得: ∴
∴的面积
18、(1) (2)
19、
1）连结BD和AC交于，连结，
ABCD为正方形，为中点，为中点，
，
平面，平面ACF
平面．
（2）
四棱锥的体积
20、（1） （2）
21、（1）奇函数（2）
22、(1)证明：∵l与m垂直，且km＝－，
∴kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.
(2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.
①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由
得N，则＝.
∴·＝·＝＝－5.
综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.
另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.