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- 2021-04-23 发布
高三数学(文)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意，集合，
所以，故选B.
2.若复数，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由已知，则= .故选C.
3.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A. ∀x∈Q，有x∈P B. ∀x∉Q，有x∉P
C. ∃x0∉Q，使得x0∈P D. ∃x0∈P，使得x0∉Q
【答案】B
【解析】
【分析】
根据和的交集为可知是的子集，根据子集的性质可知任意中的任意元素都属于，不属于的元素一定不属于
【详解】，所以，即是的子集，
，有，
所以，有，
故选
【点睛】本题主要考查了集合之间的关系的应用，当一个集合中的任意元素都属于另一个集合，则称是的子集，掌握子集的定义和性质是解题的关键。
4.已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：可以先比较同底的对数大小，再结合中间值1,进行比较即可.
详解：,故，选D.
点睛：考查对数函数的基本性质和运算公式，比较大小通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可.属于基础题.
5.已知中，是上一点，，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理将用、表示出来，与已知数据对比，即可找到λ和μ的值，可得到答案．
【详解】∵，∴，
∴=
，∴，
即，λ=3，μ
所以λ+μ
故选：A．
【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．
6.为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），故只要将y=sinx
（x∈R）的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,故选A.
考点：本题主要考查三角函数图象变换，三角函数解析式.
点评：基础题，根据图象求函数解析式及三角函数图象的变换均是高考常见题目，本题将二者结合在一起，解得思路明确，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求.
7.函数 图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域，极限，单调性判断．
【详解】f（x）的定义域为{x|x＞0}，排除A．
当x→0+时，f（x）→+∞，排除D．
当x＞1时，f（x）＝lnx，f′（x），
令f′（x）＝0解得x＝2，
当x＞2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（2，+∞）上是减函数，排除B．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断．
8.如图，在圆O中，若弦，弦，则·的值是
A. －16 B. －2 C. 32 D. 16
【答案】C
【解析】
取AC的中点M，AB的中点N，则半径的长为r,
则
.
9.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：
如图所示：设，则
所以当且仅当时取“=”，故最小值为
考点：向量的数量积的应用
10.在中，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设的内角A，B，C所对应的三条边分别为，
则有，
由正弦定理得：
展开可得，所以，
则=，
当且仅当时，等号成立，
故选B．
点睛：当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；
在三角形中要注重利用条件进行化简运算；
用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.
11.若，且，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运用二倍角公式和两角差的正弦公式进行化简，再结合同角三角函数关系求出结果
【详解】，且，
化简可得
两边平方可得
则
故选
【点睛】本题主要考查了三角函数两角和与差公式和倍角公式，熟练掌握各个公式是解题的关键，属于基础题。
12.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的( )
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向
与的角平分线一致，可得到，可得答案．
【详解】、分别表示向量、方向上的单位向量
的方向与的角平分线一致
又，
向量的方向与的角平分线一致
一定通过的内心
故选：．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上
13.已知两个单位向量与的夹角为600，则向量在向量方向上的投影为_______
【答案】
【解析】
【分析】
运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，向量的投影概念，计算即可得到所求值．
【详解】两个单位向量和夹角为60°，
可得•1×1，
（）•2•1，
向量在向量方向上的投影为，
故答案为：．
【点睛】本题考查向量数量积的定义和性质，以及向量投影的求法，考查运算能力，属于基础题．
14.若点是所在平面内一点，且满足，则与的面积之比值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3|＝0，根据向量的概念，运算求解32， ，根据△ABG和△ABC面积的关系，△ABM与△ABC面积之比，求出面积之比．
【详解】如图G为BC的中点，
点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3|＝0，
3，2，
32，，∴，
又∵S△ABGS△ABC，
∴△ABM与△ABC面积之比：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了向量的几何运算，根据线段的比值，面积的关系求解，注意几何图形中线段的关系．
15.__________．
【答案】
【解析】
，应填答案。
点睛：解答本题的关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。
16.将函数的图象沿着轴向右平移个单位(）后的图象关于轴对称，则的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，根据函数图象平移变换法则，求出平移后的函数解析式，进而求出满足条件的的值．
【详解】函数ysinx﹣cosx＝2sin（x），
将其图象向右平移a个单位（a＞0），所得图象的解析式为：y＝2sin[x﹣（a）]，
由平移后所得图象关于y轴对称，
则﹣（a）＝kπ，
即a＝kπ，k∈N+，
当k＝1时，a．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是函数图象的平移变换及正弦型函数的对称性，其中根据已知函数的解析式，求出平移后图象对称的函数的解析式是解答本题的关键，属于基础题．
三、解答题(本大题4小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数的图象经过点.
（1）求的值，并求函数的单调递增区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；的单调递增区间为.
(2).
【解析】
分析：（1）利用倍角公式和辅助角公式可以求得，然后再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；
（2）由，可得，可得的取值范围是，根据不等式恒成立，即，从而求得结果.
详解：（1）
因为经过点，所以，，
因为的单调递增区间为
所以
所以
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）知，
因为，所以，
当，即时，，
因恒成立即，所以所.
点睛：该题考查的是有关三角函数的恒等变换以及恒成立问题，涉及到的知识点有倍角公式、辅助角公式、正弦函数的单调性、三角函数在闭区间上的最值等，在解题的过程中，注意正确使用公式，再者就是将恒成立问题转化为最值来处理即可.
18.在△中，角，，的对边分别为，，分，且满足．
（Ⅰ）求角大小；
（Ⅱ）若，求△面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；
【解析】
试题分析：（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．
（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．
试题解析：
（I）
所以
由正弦定理,得.
整理得.
.
在中,.
.
（Ⅱ）由余弦定理
当且仅当时取"".
三角形的面积.
三角形面积的最大值为.
点睛：本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用，属于中档题．
19.设函数
（1）当时，曲线与直线相切，求实数的值；
（2）若函数在[1,3]上存在单调递增区间，求实数的取值范围.
【答案】 m＝﹣2或mln2；（﹣∞，）
【解析】
【分析】
（1）将a＝0代入f（x），求出f（x）的导数，得到f′（x）＝3，解得x的值，求出切点坐标，代入求出m的值即可；
（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．
【详解】（1）当a＝0时，f（x）＝lnx+x2，x∈（0，+∞），
f′（x）2x＞0，
令f′（x）＝3，解得：x＝1或x，
代入f（x）得切点坐标为（1，1），或（，ln2），
将切点坐标代入直线y＝3x+m，解得：m＝﹣2或mln2；
（2）f′（x）2x﹣2a，x∈[1，3]，
设g（x）＝2x2﹣2ax+1，
假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，
于是，解得：a，
故要使函数f（x）在[1，3]上存在单调递增区间，
则a的范围是（﹣∞，）．
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题．
20.如图，是直角斜边上一点，，记,.
（1）证明；
（2）若，求的值.
【答案】（1）根据两角和差的公式，以及诱导公式来得到证明。
（2）
【解析】
试题分析：（1）由题意得，即可化简得证；（2）在中，由正弦定理得，在由（1）中，可求得方程，即可求解角的值.
试题解析：（1）如图：∵，∴，
即.
（2）在中，由正弦定理得
，∴
由（1）得，∴，
即，解得或
∵，∴，所以.
考点：正弦定理；三角恒等变换.
21.已知函数，.
（1）设，求的最小值；
（2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，且.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ），函数定义域为R，求导数，，分别令，，根据函数单调性，确定函数的最小值；（Ⅱ）由曲线与仅有一个交点，可设函数，函数的定义域为，于是对函数求导，研究的单调性及导数为0的根，从而确定函数的最值，曲线与在点处有相同的切线，再求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故时，取得最小值．
（Ⅱ）设，则，
由（Ⅰ）得在单调递增，又，，
所以存在使得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以)的最小值为，
由得，所以曲线与在点处有相同的切线，
又，所以，
因为，所以．
方法点睛：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目的要求，画出函数图像走势规律，标明函数极（最）值点位置，通过数形结合思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体体现.
22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线直角坐标方程；
（2）点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析】
（1）将直线的极坐标方程化简，结合公式，即可得出直角坐标方程；
（2）先设点的坐标为，根据点到直线的距离公式，即可求出结果.
【详解】（1）化简为，
∴直线的直角坐标方程为；
（2）设点的坐标为，
得到直线的距离，
即，其中．
当时，．
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化，以及点到直线的距离，熟记公式即可，属于常考题型.
23.设函数,已知不等式的解集为。
（1）求；
（2）当时，证明：
【答案】M＝[] （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）将函数写成分段函数，再利用f（x），即可求得M；
（2）利用作差法，证明3（a+b）2﹣（3+ab）20，即可得到结论．
【详解】（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|
当x＜﹣1时，由﹣2x，得；
当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2；
当x＞1时，由2x，得x．
所以M＝[]．
（2）当a，b∈M，即a，b，
∵3（a+b）2﹣（3+ab）2＝3（a2+2ab+b2）﹣（9+6ab+a2b2）＝（a2﹣3）（3﹣b2）0，
∴3（a+b）2（3+ab）2，
∴|a+b||3+ab|．
【点睛】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．