【推荐】专题10-2+双曲线-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 20页

1. 【2017 天津，文 5】已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上， OAF△ 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 （A） 2 2 14 12 x y  （B） 2 2 112 4 x y  （C） 2 2 13 x y  （D） 2 2 13 yx   【答案】 D 【考点】双曲线方程 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意 a 、 b 、 c 的关系 2 2 2c a b  ，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双 曲线的一些几何性质，得到 , ,a b c 的关系，联立方程，求得 , ,a b c 的值， 2.【2015 高考湖南，文 6】若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( ) A、 7 3 B、 5 4 C、 4 3 D、 5 3 【答案】D 【解析】因为双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线经过点（3，-4）， 2 2 2 53 4 9 16 3 cb a c a a e a       ， （ ） ， = ．故选 D. 【考点定位】双曲线的简单性质 【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破 口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线 2 2 2 2 1x y a b   共渐近线的可设为 2 2 2 2 ( 0)x y a b     ；(2)若 渐近线方程为 by xa   ，则可设为 2 2 2 2 ( 0)x y a b     ；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b ； (4) 2 2 2 2 1( 0. 0)x y a ba b     的一条渐近线的斜率为 2 2 2 2 1b c a ea a    .可以看出，双曲线的渐近线和离心 率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极 限位置. 3.【2015 高考重庆，文 9】设双曲线 2 2 2 2 1(a 0,b 0)x y a b - = > > 的右焦点是 F，左、右顶点分别是 1 2A ,A ,过 F 做 1 2A A 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 1 2A B A C ,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A) 1 2 ± (B) 2 2 ± (C) 1± (D) 2± 【答案】C 【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积. 【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到 a 与b 的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性. 4.【2016 高考浙江文数】设双曲线 x2– 2 3 y =1 的左、右焦点分别为 F1，F2．若点 P 在双曲线上，且△F1PF2 为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______． 【答案】 (2 7,8) ． 考点：双曲线的几何性质. 【思路点睛】先由对称性可设点  在右支上，进而可得 1F 和 2F ，再由 1 2F F  为锐角三角形可得 2 2 2 1 2 1 2F F FF    ，进而可得 x 的不等式，解不等式可得 1 2F F   的取值范围． 5.【2016 高考山东文数】已知双曲线 E： 2 2 x a – 2 2 y b =1（a>0，b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______． 【答案】 2 【解析】 试题分析： 依题意，不妨设 6, 4AB AD  ，作出图象如下图所示 则 2 12 4, 2;2 5 3 2, 1,c c a DF DF a        故离心率 2 21 c a   考点：双曲线的几何性质 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化 得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能 力等. 考点 了解 A 掌握 B 灵活运用 C 中心在坐标原点的双曲线的标 准方程与几何性质 A 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：1、考查利用定义求弦长、距离等，通常以选择、填空形式 出现。2、通常在选择题中考查求标准方程，也可能在解答题中作为第一问进行考查。3、考查双曲线的离 心率、渐近线、长轴、焦点等，常以选择、填空形式出现，也可能出现在解答题的第一问。4、直线与双曲 线相交的弦长问题，中点弦问题。5、常结合多种知识考查，有关弦长公式的定值、最值、范围、曲线经过 的定点等。 1．双曲线定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫 做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0) y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±b a x y＝±a b x 离心率 e＝c a ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线 的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 【知识拓展】 巧设双曲线方程 (1)与双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2 a2－y2 b2＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2 m ＋y2 n ＝1(mn<0)． 题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点 1 利用定义求轨迹方程 例 1 已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________． 【答案】 x2－y2 8 ＝1(x≤－1) 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)， 其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8. 故点 M 的轨迹方程为 x2－y2 8 ＝1(x≤－1)． 命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为5 4 ； (2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)； (3)经过两点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7)． 【答案】（1）x2 64 －y2 36 ＝1 或y2 64 －x2 36 ＝1.； （2） y2 144 －x2 25 ＝1； （3）y2 25 －x2 75 ＝1. 【解析】(1)设双曲线的标准方程为 x2 a2－y2 b2＝1 或y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)． 由题意知，2b＝12，e＝c a ＝5 4 . ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为x2 64 －y2 36 ＝1 或y2 64 －x2 36 ＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a＝12. 又 2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为 y2 144 －x2 25 ＝1. (3)设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)． ∴ 9m－28n＝1， 72m－49n＝1， 解得 m＝－ 1 75 ， n＝－ 1 25 . ∴双曲线的标准方程为y2 25 －x2 75 ＝1. 命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题 例 3 已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左，右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝________. 【答案】 3 4 【解析】 ∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2| ＝|PF2|＝2a＝2 2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2， 则 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ＝ 4 2 2＋ 2 2 2－42 2×4 2×2 2 ＝3 4 . 引申探究 1．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2 的面积是多少？ 2．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1 →·PF2 →＝0”，则△F1PF2 的面积是多少？ 【解析】 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 由于PF1 →·PF2 →＝0，所以PF1 →⊥PF2 →， 所以在△F1PF2 中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以 1 2F PFS ＝1 2 |PF1|·|PF2|＝2. 解题技巧与方法总结 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法， 建立与|PF1|·|PF2|的联系． (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a， b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可 设有公共渐近线的双曲线方程为x2 a2－y2 b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． 【变式训练】(1)已知 F1，F2 为双曲线x2 5 －y2 4 ＝1 的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上， 则|AP|＋|AF2|的最小值为( ) A. 37＋4 B. 37－4 C. 37－2 5 D. 37＋2 5 (2)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝±1 2 x，则该双曲线的标准方程为 ________． 【答案】 (1)C (2)x2 4 －y2＝1 题型二 双曲线的几何性质 例 4 (1)(2016·浙江)已知椭圆 C1：x2 m2＋y2＝1(m＞1)与双曲线 C2：x2 n2－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2 分别 为 C1，C2 的离心率，则( ) A．m＞n 且 e1e2＞1 B．m＞n 且 e1e2＜1 C．m＜n 且 e1e2＞1 D．m＜n 且 e1e2＜1 (2)(2015·山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 C2：x2＝2py(p ＞0)交于点 O，A，B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为________． 【答案】 (1)A (2)3 2 (2)由题意，不妨设直线 OA 的方程为 y＝b a x，直线 OB 的方程为 y＝－b a x. 由 y＝b a x， x2＝2py， 得 x2＝2p·b a x， ∴x＝2pb a ，y＝2pb2 a2 ，∴A 2pb a ，2pb2 a2 . 设抛物线 C2 的焦点为 F，则 F 0，p 2 ， ∴kAF＝ 2pb2 a2 －p 2 2pb a . ∵△OAB 的垂心为 F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1， ∴ 2pb2 a2 －p 2 2pb a · －b a ＝－1，∴b2 a2＝5 4 . 设 C1 的离心率为 e，则 e2＝c2 a2＝a2＋b2 a2 ＝1＋5 4 ＝9 4 . ∴e＝3 2 . 解题技巧与方法总结 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)中，离心率 e 与双曲线 的渐近线的斜率 k＝±b a 满足关系式 e2＝1＋k2. 【变式训练 1】(2016·全国甲卷)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2 a2－y2 b2＝1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝1 3 ，则 E 的离心率为( ) A. 2B.3 2 C. 3D．2 【答案】 A 【解析】 离心率 e＝ |F1F2| |MF2|－|MF1| ，由正弦定理得 e＝ |F1F2| |MF2|－|MF1| ＝ sin∠F1MF2 sin∠MF1F2－sin∠MF2F1 ＝ 2 2 3 1－1 3 ＝ 2. 故选 A. 题型三 直线与双曲线的综合问题 例 5 (2017·兰州月考)已知椭圆 C1 的方程为x2 4 ＋y2＝1，双曲线 C2 的左，右焦点分别是 C1 的左，右顶点， 而 C2 的左，右顶点分别是 C1 的左，右焦点． (1)求双曲线 C2 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA→·OB→>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值 范围． 【答案】x2 3 －y2＝1. ＝(k2＋1)x1x2＋ 2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋7 3k2－1 . 又∵OA→·OB→>2，得 x1x2＋y1y2>2， ∴3k2＋7 3k2－1 >2，即－3k2＋9 3k2－1 >0， 解得1 3 0)的离心率等于 2，直线 y＝kx－1 与双曲线 E 的右支交于 A，B 两 点． (1)求 k 的取值范围； (2)若|AB|＝6 3，点 C 是双曲线上一点，且OC→＝m(OA→＋OB→)，求 k，m 的值． 【答案】（1）{k|10）渐近线斜率大于 2 , 22, 1 ( ) 3b bea a > = + ³ 选 D. 4.（河南省林州市第一中学 2018 届高三 8 月调研考试）已知双曲线 E : 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b - = > > 上的四点 , , ,A B C D 满足 AC AB AD= +   ，若直线 AD 的斜率与直线 AB 的斜率之积为 2，则双曲线C 的离心率为 （ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 2 2 【答案】A 【解析】很明显，A，B，C，D 四点组成平行四边形 ABDC，如图所示，设      , , ,0 , ,0A x y B a C a ，则： 2 2 2 2 2 2 22 12AB AD y y y x yk k x a x a x a a a           ， 点 A 在双曲线上，则： 2 2 2 2 2 2 2 21 1x y x y a b a b      ， 据此可得： 2 2 2 2 2 21 1 , 22 y y b aa b      ， 结合 2 2 2c a b  可得双曲线的离心率为 3ce a   . 本题选择 A 选项. 【方法点睛】：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立 e 的关系式求 e 或 e 的范围；另 一种是建立 a，b，c 的齐次关系式，将 b 用 a，e 表示，令两边同除以 a 或 a2 化为 e 的关系式，进而求解． 5. (河南省名校联盟 2018 届高三第一次段考) 以双曲线 2 2 2 2 1x y a b - = 的两焦点为直径作圆，且该圆在 x 轴上 方交双曲线于 A,B 两点；再以线段 AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率 为__________． 【答案】 2 【方法点睛】：本题主要考查了圆、双曲线等相关知识，属于中档题。本题思路：先联立方程求出 A 点坐标，再利用圆上一点到到圆心距离等于半径，求出 ,a b 的关系，再算出离心率。 6. (云南省师范大学附属中学 2018 届高三高考适应性月考)已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b - = > > 的右焦点 为 F，过 F 作 x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为 M，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 N， 满足 MN MF= ，则双曲线离心率的值是__________． 【答案】 2 3 3 【解析】由已知： 2 2 ,b bc bFM MNa a a = = - ，由 MN MF= 知： 2 2 2 2 22 , 2 , 4 4 4bc b c b c b c aa a = = = = - 2 2 2 33 4 3 cc a e a = = = ，故答案为 2 3 3 . 【方法点睛】本题主要考查双曲线的几何性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一 个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 a,c，从而求出 e;②构造 a,c 的齐次式，求 出 e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 7．（福建省闽侯第六中学 2018 届高三上学期第一次月考）已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦 点与抛物线 的焦点重合，且其渐近线方程为 ，则双曲线 的方程为 A. 2 2 19 16 x y  B. 2 2 116 9 x y  C. 2 2 136 64 x y  D. 2 2 164 36 x y  【答案】A 考点：1．双曲线的性质与方程．