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- 2021-04-23 发布
江苏省天一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（平行班）试题
一、选择题（本大题共12小题）
1.命题“x=π”是“sinx=0”的（ ）条件．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由x=π，得sinx=0；反之，由sinx=0，不一定有x=π，然后结合充分必要条件的判定得答案．
【详解】解：由x=π，得sinx=0；
反之，由sinx=0，得x=kπ，k∈Z．
∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．
2.下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.
考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.
3.以坐标原点为顶点，且（3，0）为焦点的抛物线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由抛物线焦点的坐标分析可得抛物线的开口方向，可求出p的值，即可得答案．
【详解】解：根据题意，要求抛物线的焦点为（3，0），则抛物线的开口向左；
设抛物线的标准方程为：，
则=3，即p=6；
故抛物线的标准方程为y2=12x；
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，涉及抛物线焦点坐标，属于基础题．
4.下列命题中是假命题的是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】
【分析】
通过特殊值判断A、B的正误；正弦函数的最值判断C的正误；利用反例判断D是假命题．
【详解】解：当x=0时，lgex=0，所以A是真命题；
x=0时，tanx=x，所以B是真命题；
因为sinx≤1，当x=时，sinx=1，所以，sinx＜1，C是真命题；
x=0时，ex=x+1，所以∀x∈R，ex＞x+1不正确，所以D是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
5.设椭圆（m＞n＞0）的右准线为x=8，椭圆的离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
确定椭圆的焦点在x轴，利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆方程．
【详解】解：直接设椭圆的标准方程为（），又其右准线为x=8，椭圆的离心率为，
可得，解得a=4，c=2，则b==2．
所以椭圆方程：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质．椭圆方程的求法，圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握．
6.下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C，若，（，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
①由向量的运算法则，可判断真假；
②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判断真假；
③利用空间向量的基本定理判断真假；
【详解】解：①根据向量的运算法则知，等号的左边为，而右边为0，故①不正确；
②⇔||2-2||||+||2=||2+2•+||2⇔cosθ=-1，即与反向，∴是、共线的充分不必要条件，故②不正确；
③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量可以用不共面的三个向量、、线性表示，所以P、A、B、C四点一定不共面，故③不正确；
故选：D．
【点睛】考查向量的运算法则，空间向量的基本定理，命题真假的判断；
7.已知（，-1，3），（，4，-2），（，3，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量、、共面得出=x+y，列方程组可求得λ的值．
【详解】解：向量、、共面，则=x+y，其中x，y∈R；
则（1，3，λ）=（2x，-x，3x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，3x-2y），
∴，
解得x=1，y=1，λ=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示与共面定理的应用问题，是基础题．
8. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+=4,
∴xP=3,yP==2,
因此S△POF=×2×=2.故选C.
9.设双曲线（，）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意可知双曲线的渐近线一条方程为，与抛物线方程组成方程组消y得，，即，所以，选D.
【点睛】
双曲线（，）的渐近线方程为。
直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，
当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点。
当直线与抛物线对称轴不平行时，当时，直线与抛物线相交，有两个交点。
当时，直线与抛物线相切，只有一个交点。
当时，直线与抛物线相离，没有交点。
10.设是双曲线的两个焦点，点Ｐ在双曲线上，且满足则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得为直角，为直角三角形，
又双曲线的方程可化为，
故，
变形可得，
由双曲线定义得，
解得a=1，
考点：双曲线的简单性质
11.直线l的方程为y=x+3，P为l上任意一点，过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为焦点作椭圆，那么该椭圆的最短长轴长为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出椭圆方程，P的坐标，结合P在椭圆上，可得关于P的横坐标的方程，由判别式大于等于0求得a的范围，进一步求出a的最小值，推出结果．
【详解】解：由题意可设椭圆方程为：（a＞b＞0），
由已知双曲线标准方程为：，
则，
∴a2-b2=c2=1，
设P（m，m+3），由P在椭圆上，得，
∴（a2-1）m2+a2（m2+6m+9）=a2（a2-1）=a4-a2，
即（2a2-1）m2+6a2m+10a2- a4=0．
由△=（6a2）2-（8a2-4）（10a2-a4）≥0，
得36a4-80a4+40a2+8a6-4a4≥0，
∴-48a2+40+8a4≥0，a4-6a2+5≥0，
即（a2-5）（a2-1）≥0，
解得a2≤1或a2≥5，
∵c2=1，a2＞c2，
∴a2≥5，又长轴最短，即a2=5，
该椭圆的最短长轴长为：2．
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．
12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．
考点：椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若双曲线的离心率为，则实数__________．
【答案】2
【解析】
，.渐近线方程是.
14.已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|4x2+12x-7≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是______．
【答案】[，+∞）
【解析】
【分析】
求解一元二次不等式化简B，再把“x∈A”是“x∈B”的必要条件转化为两集合端点值间的关系列式求解．
【详解】解：B={x|4x2+12x-7≤0}={x|（2x+7）（2x-1）≤0}={x|-≤x≤}，
A={x|2-a≤x≤2+a}，
∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
∴B⊆A，
即，解得，
∴实数a的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．
15.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆定义可得，又，从而得到结果.
【详解】∵，∴，．
又，∴，即，解得．
又，∴．
【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆定义以及焦半径的范围，属于中档题.
16.已知是抛物线的焦点，点、在抛物线上且位于轴的两侧，若 （其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是______
【答案】3
【解析】
设直线的方程为，点，，直线与轴的交点为.
联立，可得，根据韦达定理可得.
∵
∴，即.
∴或（舍），即.
∵点，位于轴的两侧
∴不妨令点在轴的上方，则.
∵
∴，当且仅当时取等号.
∴与面积之和的最小值是3.
故答案为3.
点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和推出的表达式和运用基本不等式是解答的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知命题p：∃x∈（-2，1），使等式x2-x-m=0成立，命题q：表示椭圆．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围．
（2）判断命题p为真命题是命题q为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）
【答案】（1）{m|≤m＜6}（2）p是q的必要不充分条件
【解析】
【分析】
（1）把：∃x∈（-2，1），使等式x2-x-m=0成立转化为方程x2-x-m
=0在（-2，1）上有解，即m的取值范围就是函数y=x2-x在（-2，1）上的值域，再求二次函数的值域得答案；
（2）由表示椭圆求得m的范围，利用集合间的关系结合充分必要条件的判定得答案．
【详解】解：（1）由题意，方程x2-x-m=0在（-2，1）上有解，
即m的取值范围就是函数y=x2-x在（-2，1）上的值域，
函数y=x2-x的对称轴方程为x=，
则当x=时，有最小值，
当x=-2时，有最大值为6．
可得{m|≤m＜6}；
（2）∵命题q：表示椭圆为真命题，
∴，解得2＜m＜3或3＜m＜4．
故有{m|≤m＜6}⫌{m|2＜m＜3或3＜m＜4}．
∴p是q的必要不充分条件．
【点睛】本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查函数值域的求法及椭圆的标准方程，是基础题．
18.已知双曲线C1的渐近线是x±2y=0，焦点坐标是F1（-，0）、F2（，0）．
（1）求双曲线C1的方程；
（2）若椭圆C2与双曲线C1有公共的焦点，且它们的离心率之和为，点P在椭圆C2上，且|PF1|=4，求∠F1PF2的大小．
【答案】（1）（2）120°
【解析】
【分析】
（1）设双曲线C1：，由已知，由此能求出双曲线C1方程．
（2）由已知得椭圆C2离心率是，，a=3，，由此利用余弦定理能求出∠F1PF2的大小．
【详解】解：（1）根据题意，设双曲线C1：，
则，，
双曲线C1方程是．
（2）∵双曲线C1的离心率是，∴椭圆C2离心率是，
在椭圆C2中，，∴a=3，，
∵|PF1|=4，由椭圆定义，|PF2|=2，在△F1PF2中，
根据余弦定理，，
∴∠F1PF2=120°．
【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查角的大小的求法，是中档题，解题时要注意椭圆、双曲线简单性质的合理运用．
19.三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，AC=4，AA1=3．D是BC的中点．
（1）求直线A1D与B1C1所成角的余弦值；
（2）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的坐标系，可得A、B、C、D、A1、B1、C1各点的坐标，由此得到向量、、、、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出cos＜，＞的值，即可得到直线A1D与B1C1所成角的余弦值；
（2）设平面A1C1D的一个法向量为=（x，y，z），利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，0，1），从而得到直线DB1与平面A1C1D所成角θ满足sinθ=cos＜，＞=，即得直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．
【详解】解：根据题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），
由此可得=（1，2，-3），=（0，4，0），
=（1，-2，0），=（-2，4，0），=（1，-2，3）
（1）∵cos＜，＞==，
∴直线A1D与B1C1所成角的余弦值为；
（2）设平面A1C1D的一个法向量为=（x，y，z），
则，取z=1得x=3，y=0，
∴=（3，0，1）是平面A1C1D的一个法向量
因此，设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，
可得sinθ=cos＜，＞==，
即直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值等于．
【点睛】本题给出底面为直角三角形的直三棱柱，求异面直线所成角和直线与平面所成角的正弦值，着重考查了利用空间坐标系求空间直线与平面所成角和异面直线所成角等知识点，属于中档题．
20.已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B作准线的垂线交准线与P，Q两点．R是PQ的中点．
（1）证明：以PQ为直径的圆恒过定点F．
（2）证明：AR∥FQ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得抛物线的焦点F，设直线l的方程为x=my+，联立抛物线方程，设A（，y1），B（，y2），运用韦达定理，求得抛物线的准线方程，可得P，Q，R的坐标，
求得，，由向量垂直的条件，即可得证；
（2）设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，运用直线的斜率公式和两直线平行的条件，以及韦达定理，即可得证．
【详解】证明：（1）抛物线C：y2=2x的焦点F（，0），设直线l的方程为x=my+，
联立抛物线方程可得y2-2my-1=0，
设A（，y1），B（，y2），则y1+y2=2m，y1y2=-1，
抛物线的准线方程为x=-，可得P（-，y1），Q（-，y2），R（-，），
则=（1，-y1），=（1，-y2），可得•=1+y1y2=1-1=0，
即PF⊥QF，以PQ为直径的圆恒过定点F；
（2）设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，
则k2==-y2，
k1=====-y2，
即k1=k2，
则AR∥FQ．
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，注意运用向量的数量积的垂直性质，以及两直线平行的条件，考查化简运算能力，属于中档题．
21.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D1－AC－B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点．若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．
【答案】（Ⅰ）详见解析 （Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
试题分析：以A为原点建立空间直角坐标系（Ⅰ）求出直线MN的方向向量与平面ABCD的法向量，两个向量的乘积等于0即可；（Ⅱ）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；（Ⅲ） 设＝λ，代入线面角公式计算可解出λ的值，即可求出A1E的长．
试题解析：如图，以A原点建立空间直角坐标系，依题意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，－2，2），又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得 M，N（1，－2，1）．
（Ⅰ）依题意，可得n＝（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，＝，
由此可得，n＝0，又因为直线MN⊄平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）＝（1，－2，2），＝（2，0，0），
设n1＝（x1，y1，z1）为平面ACD1的法向量，则
即
不妨设z1＝1，
可得 n1＝（0，1，1），
设n2＝（x2，y2，z2）为平面ACB1的一个法向量，
则又＝（0，1， 2），得
，不妨设z2＝1，可得n2＝（0，－2，1）．
因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，
于是sin〈n1，n2〉＝，
所以二面角D1－AC－B1的正弦值为．
（Ⅲ）依题意，可设，其中λ∈[0，1]，则E（0，λ，2），从而＝（－1，λ＋2，1），又n＝（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，由已知得
cos〈，n〉＝＝＝，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0，1]，解得λ＝－2，
所以线段A1E的长为－2．
考点：1．线面平行的判定；2．二面角求解；3．斜线与平面所成角
22.平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率和焦点求方程；
（Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；
（ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．
试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得．
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）（1）设，由可得，
所以直线的斜率为，其直线方程为，即．
设，联立方程组
消去并整理可得，
故由其判别式可得且，
故,
代入可得，
因为，所以直线的方程为．
联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上．
（2）由（1）知直线的方程为，
令得，所以，
又，
所以，，
所以，令，则，
因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．
考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．