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- 2021-04-23 发布
2016—2017学年度第二学期期中联考
高二理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。)
1．已知﹛a ，b ，c﹜是空间的一个基底，则下列选项可构成空间的一个基底的是（ ）
A．﹛a，a—2b，2 a+b﹜ B．﹛b，b +c，b—c﹜
C．﹛2a—3b，a+b，a—b﹜ D．﹛a+b，b—c，c+2a﹜
2．已知是两条直线， 是两个平面， 则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．若A（1，﹣2，11），B（4，2，7），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（ ）
A．2，-4 B．-2，-6 C．，﹣4 D．﹣2，﹣8
4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如右下图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．正三棱柱ABC—A1B1C1所有棱长都相等，则AC1 与平面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6．在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将三角形
ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）
A. 30° B.45° C.60° D. 90°
7．是二面角的棱上两点，是平面上一点，于，与成45°角，与平面成30°角，则二面角的大小是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
8.已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9．如右图，在直棱柱ABC—A1B1C1中，，4 AC=AA1=2BC=4，D为AA1上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
10.已知长方体ABCD——A1B1C1D1，AD=AB，E为CC1中点，P在对角面BB1D1D所在平面内运动，若EP与AC成30°角，则点P轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
11．在四面体中，，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，点P在线段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若a =，b=，则与a+b同向的单位向量是
14．若直线的方向向量a =，平面的一个法向量n= ，则直线与平面所成角为，则=
15．在棱长为的正四面体ABCD中，E为线段AD上一点，满足AE=AD，F是AC的中点，则=
16．已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：
① ；
②；
③；
④函数在上是增函数，在上是减函数．
其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，
(1) 若空间中的点D与A、B、C正好组成平行四边形ABCD，求点D的坐标；
(2) 求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与平面ABCD成60°角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=AD
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）设E是棱PD上一点，且PE=PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面，∥，，，为上一点，平面．
（1）求证：∥平面；
（2）若，求点D到平面EMC的距离．
20．（本小题满分12分）
如图，平面，，，为的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥，底面是的菱形，侧面是边长为的正三角形，且与底面ABCD垂直，为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面BCC1B1为矩形，∠A1AB=，二面角A﹣BC﹣A1的正切值为．
（1）求侧棱AA1的长；
（2）侧棱CC1上是否存在点D，使得直线AD与平面A1BC所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．
高二理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
C
D
C
B
C
A
A
D
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．
15． 16．①④
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17.解：（1）设，由题意可知，，即=，得，所以………………………………5分
（2），，则
所以，故平行四边形的面积……………………10分
19. （1）证明：取AC的中点F，连接BF，，
……………………5分
（2）∵平面，面，∴平面平面，
平面平面，过点作直线，则平面，
由已知平面，∥，，可得，
又，∴为的中点，
在中，，
在中，， ，
在中，，由等面积法知，
∴，即点D到平面EMC的距离为．……………………12分
20. 解：（1）如图，在平面内，作∥，则两两互相垂直，
建立空间直角坐标系．则， ．
，， ．设平面的法向量为，则即令，则．
所以．为平面的法向量，设的夹角为，则．
因为二面角为锐角，所以
二面角的余弦值为……6分
（2） 设是线段上
一点，且．
即．所以
所以 由，得 ．
因为，所以在线段上存在点，
使得此时，．…………………… 12分
21. （1）证明：取AD中点O，连接OP，OC，AC，由题意可知△PAD，△ACD均为正三角形
（2）方法1：由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，∴平面．即为三棱锥的高．
在中，，，在中，，，边上的高，∴的面积
．
设点到平面的距离为，由得，，又，∴，解得．故点到平面的距离为． 设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成的角的正弦值为．
方法2：用空间向量来计算．
22. 解：（1）取BC的中点E，C1B1的中点F，则四边形AEFA1为平行四边形，
∵AB=AC=2，∴AE⊥BC，
∵侧面BCC1B1为矩形，∴BC⊥EF，
∴BC⊥平面AEFA1，则BC⊥A1E，
故∠A1EA 是二面角A﹣BC﹣A1的平面角，
则tan∠A1EA=，则sin∠A1EA=，
cos∠A1EA=，设AA1=x，∵AB⊥AC，AB=AC=2，∴CE=BE=，
∵∠A1AB=，∴A1B2=x2+22﹣2×2xcos=x2+2x+4，
又A1E2=A1B2﹣BE2=x2+2x+4﹣2=x2+2x+2，
在△AEA1中x2=A1E2+22﹣2×2A1E=x2+2x+2﹣•，
即•=2x+2，
平方整理得3x2﹣4x﹣4=0，得x=2或x=﹣（舍），即侧棱AA1=2；
（2）建立以E为坐标原点，EA，EB，Ez分别为x，y，z轴的空间直角坐标系
过A1作AH⊥底面ABC，∵AA1=2，∴A1B2=x2+2x+4=12，则A1B=2，
A1E==，则A1H=A1Esin∠A1EA=×=，AH=，
则A1（2，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（0，﹣，0）
则=（﹣2，，﹣），=（0，﹣2，0），
设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），
由•=﹣2x+y﹣z=0，•=﹣2y=0，
则y=0，令x=1，则z=﹣2，即=（1， 0，﹣2），
==（，0，），设=m=（m，0，m），0＜m＜1，
=+=（﹣，﹣， 0）+（m，0，m）
=（（m﹣1），﹣，m），
∵AD与平面A1BC所成角的正切值tanθ=，∴sinθ=，
即sinθ==|cos＜，＞|=||=，
平方得7m2﹣10m+7=0，
此时判别式△=100﹣4×7×7=100﹣196=﹣96＜0，则方程无解，
即在侧棱CC1上不存在点D，使得直线AD与平面A1BC所成角的正切值为．