【数学】2020届一轮复习人教A版第69课直线与平面垂直作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(69)‎ ‎ 1. 已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是　④　.(填序号)‎ ‎①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.‎ 解析：①因为m∥α，m∥β，α⊥β，α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m，故正确；②因为m∥l，AC⊥l，所以AC⊥m，故正确；③因为AB∥l，l⊂β，AB⊄β，所以AB∥β，故正确；④当C∈l时，AC⊥β；当C∉l时，AC与β不垂直，故不一定成立.‎ ‎ 2. 不在平面α内的直线a，b在α上的射影为相交直线，则a与b的位置关系为　相交或异面　.‎ ‎ 3. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是　③　.(填序号)‎ ‎①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；　　　　　②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；‎ ‎③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α； ④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.‎ 解析：①②④m与平面α可能平行、相交或m在平面α内；对于③，若m⊥β，n⊥β，则m∥n.又因为n⊥α，所以m⊥α.‎ ‎ 4. 如果直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有　无数　条.‎ 解析：当直线a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；直线a与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.‎ ‎ 5. 已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题是　④　.(填序号)‎ ‎①若a∥b，则α∥β；‎ ‎②若α⊥β，则a⊥b；‎ ‎③若a，b相交，则α，β相交；‎ ‎④若α，β相交，则a，b相交.‎ 解析：因为a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，若a∥b，则a⊥α且a⊥β，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得α∥β，故①正确；若α⊥β，则a∥β或a⊂β，所以a⊥b，故②正确；若a，b相交，则a，b不平行，则α，β也不平行，则α，β相交，故③正确；若α，β相交，则a，b既可以是相交直线，也可以是异面直线，故④错误.‎ ‎ 6. 如图，空间中有两个正方形ABCD和ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，那么以下四个命题中正确的个数是　3　Ｗ.‎ ‎①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE是异面直线.‎ 解析：‎ 由AD⊥DC，AD⊥DE，易证AD⊥平面CDE，所以AD⊥CE.又MN是△ACE的中位线，故MN∥CE，所以AD⊥MN，因此①③正确；对于②，因为MN∥CE，从而可得MN∥平面CDE，正确；由③可知④错误.‎ ‎ 7. 若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；‎ ‎②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；‎ ‎③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；‎ ‎④若m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直.‎ 其中假命题的序号是　①③④　.‎ 解析：平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面，①为假命题；垂直于同一平面的两条直线平行，②为真命题；③中n可以平行于平面β，也可以在平面β内，③为假命题；④中m，n也可以不相互垂直，④为假命题.‎ ‎ 8. 如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是　①②③　.‎ 解析：因为PA⊥BC，BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，BC⊄平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，故③正确；因为AF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，AF⊄平面PCB，所以AF⊥平面PCB，所以AF⊥PB，故①正确；因为PB⊥AE，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，PB⊄平面AEF，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF，故②正确；因为AF⊥平面PCB，假设AE⊥平面PBC，所以AE∥AF，显然不成立，故④错误.‎ ‎ 9. 如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点.求证：‎ ‎(1) GH∥平面CDE；‎ ‎(2) BD⊥平面CDE.‎ 解析：(1) 由题意得G是AE的中点，H是BE的中点，‎ 所以GH∥AB.‎ 因为AB∥CD，所以GH∥CD.‎ 又因为CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，‎ 所以GH∥平面CDE.‎ ‎(2) 因为平面ADEF⊥平面ABCD，‎ 平面ADEF∩平面ABCD＝AD，‎ ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，‎ 所以ED⊥平面ABCD.‎ 又BD⊂平面ABCD，所以ED⊥BD.‎ 因为BD⊥CD，CD∩ED＝D，CD，DE⊂平面CDE，‎ 所以BD⊥平面CDE.‎ ‎10. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，AP＝AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点.求证：‎ ‎(1) AE∥平面PBC；‎ ‎(2) PD⊥平面ACE.‎ 解析：(1) 取PC的中点F，连结EF，BF.‎ 因为E为PD的中点，‎ 所以EF∥DC且EF＝DC.‎ 因为AB∥DC且AB＝DC，‎ 所以EF∥AB且EF＝AB，‎ 所以四边形ABFE为平行四边形，‎ 所以AE∥BF.‎ 因为AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，‎ 所以AE∥平面PBC.‎ ‎(2) 因为PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD＝B，PB，BD⊂平面PBD，‎ 所以AC⊥平面PBD.‎ 因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD.‎ 因为AP＝AD，E为PD的中点，所以PD⊥AE.‎ 因为AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面ACE，‎ 所以PD⊥平面ACE.‎ ‎11. 如图，△ABC和△BCD所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.‎ ‎(1) 求证：EF⊥平面BCG；‎ ‎(2) 求三棱锥DBCG的体积.‎ 解析：(1) 由已知得△ABC≌△DBC，‎ 所以AC＝DC.‎ 又G为AD的中点，所以CG⊥AD.‎ 同理BG⊥AD.‎ 又BG∩CG＝G，BG，CG⊂平面BCG，‎ 所以AD⊥平面BGC.‎ 又E，F分别为AC，DC的中点，‎ 所以EF∥AD，‎ 所以EF⊥平面BCG.‎ ‎(2) 在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于点O，如图.‎ 因为平面ABC⊥平面BCD，‎ 平面ABC∩平面BDC＝BC，AO⊂平面ABC，‎ 所以AO⊥平面BDC.‎ 又G为AD的中点，所以点G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.‎ 在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝，所以h＝，‎ 所以VDBCG＝VGBCD＝S△DBC·h＝×BD×BC×sin120°×＝.‎ 思维升华：(1) 证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③a⊥α，α∥β⇒a⊥β；④面面垂直的性质.‎ ‎(2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎(3) 线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.‎