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- 2021-04-23 发布
北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）
1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则 ( )
A． B． C． D．
3．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A． B．
C． D．
4．计算定积分 ( )
A．1 B．e-1 C．e D．e+1
5．下面为函数的递增区间的是 ( )
A． B． C． D．
6．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为 ( )
A． B． C． D．
7．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为 ( )
A． B． C． D．
8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．
10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．
11．如图，圆内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_____________．
12．设曲线过点(0，0)的切线与曲线上点P处的切线垂直，则P的坐标为____________．
13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。
14．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，如果，使得
，则称为区间[a,b]上的“中值点”．
下列函数：①；②；③；④中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为_________．（写出所有满足条件的函数的序号）
三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．己知函数．
( I)求函数f(x)的极值：
(II)求函数f(x)在[0，2]上的最大值；
16．设F为抛物线的焦点，A、B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．
(I)若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求线段AB的长度|AB|；
(II)当OA⊥OB时，求证：直线AB经过定点M(4，0)．
17．已知函数，k∈R．
(I)求函数f(x)的单调区间；
(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k的取值范围．
18．已知椭圆，点P(2，0)．
(I)求椭圆C的短轴长与离心率；
( II)过(1，0)的直线l与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．
19．已知函数
(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；
(II)设实数k使得f(x)< kx恒成立，求k的范围；
(III)设函数，求函数h(x)在区间上的零点个数．
20．数列
满足：或1（k=1,2,…,n－1）．
对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．
（I）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2
（II）记．若m=3，求S的最小值；
（III）若m=2018，求n的最小值．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项/）
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
C
C
B
D
A
B
二、填空，题（每小题5分，共30分）
9．； 10．； 11．； 12．；
13．； 14．①④；
三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（I）极大值，极小值；（II）最大值
16．解：（I）由题意，得F（1,0），则直线AB的方程为．
由，消去y，得．
设点，则△>0，且,
所以．
（II）因为A，B是抛物线C上的两点，所以设，
由OA⊥OB，得，所以．
由，知
，即直线AB经过定点M（4,0）．
17．解：（I）函数的定义域为．
（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；
令，解得，此时函数为单调递减函数．
（2）当时，
①当，即时，
令，解得或，此时函数为单调递增函数；
令，解得，此时函数为单调递减函数．
②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；
③当，即时，
令，解得或，此时函数为单调递增函数；
令，解得，此时函数为单调递减函数．
综上所述，
当时，函数的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为（0,1），，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（II）．
因为函数在（1，2）内单调递减，所以不等式在在（1,2）上成立．
因为，则，所以等价于，即，所以．
18．解：（I），故
有，．
椭圆C的短轴长为，离心率为．
（II）方法1：结论是：．
当直线斜率不存在时，
当直线斜率存在时，设直线
，整理得：
故
故，即点P在以MN为直径的圆内，故．
（II）方法2,：结论是．
当直线斜率不存在时，
当直线斜率存在时，设直线
，整理得：
故
此时，
故
19．解：（I）；
（II）因为，所以恒成立等价于恒成立，
令，再求函数的最大值，得k的范围是；
（III）由，得，即，，
研究函数，的最大值，，
所以，当或者时，有0个零点；
当或者时，有1个零点；
当时，有2个零点；
20．解：（I）②③．
（II）当m=3时，设数列中1,2,3，出现频数依次为，由题意．
①假设，则有（对任意），
与已知矛盾，所以．同理可证：．
②假设，则存在唯一的，使得．
那么，对，有（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以．
综上：，，，所以．
（III）设1，2，…，2018出现频数依次为．
同（II）的证明，可得，则．
取，，得到的数列为：
下面证明满足题目要求．对，不妨令，
①如果或，由于，所以符合条件；
②如果或，由于，，所以也成立；
③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且i，j，s，t两两不相等；
④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．
综上，对任意i，j，总存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．因此满足题目要求，所以n的最小值为2026．