2020年高中数学第四章曲边梯形的面积 4页

‎4．5.1　曲边梯形的面积 ‎4．5.2　计算变力所做的功 一、基础达标 ‎1．把区间[1,3]n等分，所得每个小区间的长度Δx等于 ‎(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B ‎2．如果汽车在一段时间内的函数为v(t)＝20t,0≤t≤5，若将时间段[0,5]平均分成5份，且分别用每个小区间左端点函数值近似代替在该小区间内的平均速度，则汽车在这段时间内走过的距离约为 ‎(　　)‎ A．200 B．‎210 ‎‎ C．190 D．220‎ 答案　A ‎3．关于近似替代下列说法正确的是 ‎(　　)‎ A．在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近似替代 B．在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近似替代 C．在分割后的每个小区间上，只能用其中点的函数值近似替代 D．在分割后的每个小区间上，可以用任意一点的函数值近似替代 答案　D ‎4．函数f(x)＝x2在区间[，]上 ‎(　　)‎ A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小 答案　D 解析　当n很大时，区间[，]的长度越小，f(x)的值变化很小．‎ ‎5．由直线x＝0，x＝1，y＝0和y＝3x围成的图形的面积为________．‎ 答案　 4‎ ‎6．一物体的速度与时间的关系式为v＝t2，则在从开始到1秒内运动的路程为________．‎ 答案　 ‎7．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.‎ 解　①分割 把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)‎ ‎②近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．‎ ΔSi＝f()Δx＝[1＋()2](i＝1,2，…，n)．‎ ‎③求和 ΔSi＝ [1＋()2]‎ ‎＝ ‎＝[n＋×]＝1＋(1－)(1－)．‎ ‎④取极限值 当n→∞时，ΔSi→1＋＝.‎ 因此S＝.‎ 二、能力提升 ‎8．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[，]上的值可以用下列哪个值近似地代替(‎ ‎　　)‎ A．f() B．f() C．f() D．f(0)‎ 答案　C 解析　当n很大时，f(x)＝x2在[，]上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替．‎ ‎9．由直线y＝x＋1，y＝0，x＝0，x＝2围成的四边形的面积为________．‎ 答案　4‎ 4‎ ‎10．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0围成的曲边梯形的面积时，把区间分成5等份，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．‎ 答案　1.02‎ ‎11．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．‎ 解　(1)化整为零，插入等分点．‎ 将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用分点 ，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间[0，]，[，]，…，[，]，…，[，1]．‎ 简写作：[，](i＝1,2，…，n)．‎ 每个小区间的长度为Δx＝－＝.‎ 过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：‎ ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.‎ ‎(2)以直代曲，估计误差．‎ 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．‎ 在小区间[，]上任取一点xi(i＝1,2，…，n)，‎ 为了计算方便，取xi为小区间的左端点，用xi对应的函数值f(xi)＝()(－1)为一边，以小区间长度Δx＝为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，‎ 可以近似地表示为：‎ ΔSi≈f(xi)·Δx＝()(－1)·(i＝1,2，…，n)．‎ ‎(3)积零成整，精益求精．‎ 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S的近似值．即：‎ S＝ΔSi≈f(xi)Δx＝ ()(－1)·＝‎ ‎－(1－)．①‎ 当分点数目越多，即Δx越小时，和式①的值就越接近曲边梯形的面积S.因此，当n趋于＋∞时，即Δx趋于0时，和式①的极限值就是所求曲边梯形的面积．‎ Δx趋于0时，S趋于－(负号表示图象在x轴下方)．所以，由直线x＝0，x＝1，y 4‎ ‎＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积是.‎ 三、探究与创新 ‎12．设力F作用在质点m上使m沿x轴从x＝1运动到x＝10，已知F＝x2＋1且力的方向和x轴的正向相同．求F对质点m所作的功．‎ 解　将区间[1,10]n等分，则各小区间的长度为.‎ 在[1＋，1＋]上取xi＝1＋i.‎ ‎∴Fi＝x＋1＝(1＋i)2＋1，Wi＝Fi＝[(1＋i)2＋1]＝＋i2＋i.‎ Wi＝18＋×＋×＝18＋(1＋)(2＋)‎ ‎＋81(1＋)．‎ 当n→∞时，Wi→18＋×2＋81＝342.‎ 所以F对质点所作的功为342.‎ 4‎