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- 2021-04-23 发布
数学试题
一． 选择题：
1、已知复数，则等于（ ）
2、设P和Q是两个集合，定义集合=，如果，,那么等于（ ）
3、下列命题是真命题的是（ ）
若，则
若向量 若,则
4、 已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
5、若函数是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是（ ）
6、设等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
7、已知函数，若有，则的取值范围是（ ）
[0，＋∞） （0，＋∞） [1，＋∞） （1，＋∞）
8、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（ ）
9、定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ）
10、已知数列满足：,若且数列是单调递增数
列，则实数的取值范围是（ ）
11、已知函数，存在的零点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
12、已知定义在上的函数则下列结论中,错误的是（ ）
A． B．函数的值域为
C．将函数的极值由大到小排列得到数列，则为等比数列
D．对任意的，不等式恒成立
二．填空题
第14题图
13、 已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为 .
14、 若函数的图象
如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .
15、已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是________．
16、已知定义在R上的函数满足：，
，则方程在区间上的所有实根之和为 .
三．解答题
17、已知是直线与函数图像的两个相邻交点，且
（Ⅰ）求的值；
(Ⅱ)在锐角中，分别是角A，B，C的对边，若 的面积为，
求的值.
18、 如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，
，四边形是矩形，平面平面，
，和分别是和的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小.
19. 忽如一夜春风来，翘首以盼的5G时代，已然在全球“多点开花”，一个万物互联的新时代，即将呈现在我们的面前。为更好的满足消费者对流量的需求，中国电信在某地区推出六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如表：
套餐
A
B
C
D
E
F
月资费x（元）
38
48
58
68
78
88
购买人数y（万人）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
其中vi=lnxi，ωi=lnyi，且绘图发现，散点（vi，ωi）（1≤i≤6）集中在一条直线附近。
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（2）按照某项指标测定，当购买人数y与月资费x的比在区间（）内，该流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”。现有一家三口从这六款套餐中，购买不同的三款各自使用。记三人中使用“主打套餐”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望。
附：对于一组数据（v1，ω1），（v2，ω2），…，（vn，ωn），其回归直线ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为。
20、（本题10分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A
，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；
(Ⅱ)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，
使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
数学答案
BABDA DCDBC DC
17.解：（1）…3分
由函数的图象及，得到函数的周期，解得
（2）
又是锐角三角形，
由
由余弦定理得
18、（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点，
所以， 又因为平面，平面，
所以平面.
设，连接，
因为为菱形，所以为中点
在中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
又因为，平面，
所以平面平面.
（Ⅱ）解：取的中点，连接，
因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，
因为平面平面，所以平面， 所以平面，
因为为菱形，所以，得两两垂直.
所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
如图建立空间直角坐标系.
因为底面是边长为的菱形，，，
所以，，，，，
.
所以，. 设平面的法向量为，
令，得.
由平面，得平面的法向量为，
则
所以二面角的大小为.
19、解：（1）因为散点（vi，ωi）（1≤i≤6）集中在一条直线附近，
设回归方程为ω=bv+a，
由，
则b=
a=3.05×4.1=1，故变量ω关于v的回归方程为ω=v+1。
又vi=lnxi，ωi=lnyi，故lny =lnx +1y=
综上，y关于x的回归方程为y=。
（2）由＜x＜81，所以x=58，68，78，
即C、D、E为“主打套餐”。
则三人中使用“主打套餐”的人数X服从超几何分布，X=0，1，2，3。
且P（X=0）=，P（X=1）=
P（X=2）=，P（X=3）=。
X分布列为
X
0
1
2
3
P
∴期望E（X）=0××。
20、 （1） 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，
又|AB1|＝|AB2|，
故∠B1AB2为直角，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.………3分
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2， y2)，则y1，y2是上面方程的两根，
因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.