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- 2021-04-23 发布
文科数学
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1.抛物线的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
把抛物线化为， ，的焦点坐标是.选D.
2.已知函数为函数的导函数，那么等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
，所以，故选A.
3.已知椭圆的焦距为8，则m的值为（ ）
A. 3或 B. 3 C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
看分母的大小，分两种情况讨论
【详解】由焦距为8，得，即
①当时，
所以，解得
②当时，
所以，解得
综上：或
故选：A
【点睛】本题考查的是椭圆的标准方程，较简单.
4.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
解：因为曲线，选A
5.若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出f（x）的导函数，令导函数小于等于0在区间（1，+∞）上恒成立，分离出a，求出函数的最大值，求出a的范围．
【详解】∵
∵f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，
∴在区间（1，+∞）上恒成立
∴a≤x2在区间（1，+∞）上恒成立
∵x2＞1
∴a≤1，经检验，等号成立
故选D．
【点睛】
本题考查导数与函数的单调性，解决已知函数的单调性求参数范围问题常转化为导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常分离参数转化为求函数的最值，是基础题
6.若，则等于（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. -4
【答案】D
【解析】
【分析】
先求导，算出，然后即可求出
【详解】因为，所以
所以，得
所以，所以
故选：D
【点睛】本题考查是导数的计算，较简单.
7.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由求出即可
【详解】因为，所以
所以其渐近线方程为
故选：A
【点睛】在椭圆中有，在双曲线中有.
8.函数导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的递减区间为
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的图象写出的单调区间即可.
【详解】由图可知：
在和上单调递减，
在和上单调递增
所以在处取得极小值
故选：D
【点睛】本题考查的是利用导数的图象得的单调性和极值点，较简单.
9.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,,
,,
，
所以方程为，故选A.
考点：椭圆方程及性质
10.已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意和椭圆的定义得出，同时可得，代入可得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】解：由椭圆的定义知: |PF1|+|PF2|=2a,因为|PF1|=2|PF2|,
即,又因为,所以,
所以有: ,,
故椭圆的离心率的取值范围是,
故选C.
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及离心率的相关计算，相对不难.
11.已知点P是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，则，先由椭圆的定义得，然后由余弦定理算出，即可得出，然后算出离心率即可.
【详解】设，则
由椭圆的定义得，即
由余弦定理得：
即
所以，所以
所以椭圆的离心率为：
故选：B
【点睛】本题考查的是椭圆中的焦点三角形，解决此类问题时一般要用到椭圆的定义和余弦定理，比较典型.
12.若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：因，故函数在处取极小值，在取极大值，故结合函数的图象可知当，两函数与的图象有三个交点，应选A.
考点：导数在研究函数的零点中的运用．
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由解出即可
【详解】抛物线的准线方程为：
所以，解得
所以抛物线的方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是抛物线的定义的应用，较简单.
14.求过点且与曲线相切的直线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设过点的直线与相切于点，由建立方程，解出即可.
【详解】设过点的直线与相切于点
因为，所以
解得
所以切线的斜率为
所以切线的方程为：，即
故答案为：
【点睛】本题考查的是导数的几何意义的应用，较为典型.
15.已知点平分抛物线的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设弦的两端点为，则有，将两式作差即可算出斜率， 从而得到直线的方程.
【详解】设弦的两端点为
则有
将两式相减得
因为，所以
所以这条弦所在直线的方程是：，即
故答案为：
【点睛】点差法是解决中点弦问题常用的方法.
16.设函数，若函数有三个不同零点，则c的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性，求得函数的极大值与极小值，根据极大值大于零，极小值小于零列不等式可得结果.
【详解】，令得或
与在区间上的情况如下：
+
0
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以，当极大值且极小值时，
存在，，
使得
所以当时函数有三个不同零点
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值及函数的零点，属于中档题，三次函数的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决，设函数的极大值为
，极小值为，一个零点有或，两个零点有或，三个零点有且.
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（1）已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，求椭圆C的方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，求双曲线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析】
（1）由椭圆的定义求出即可
（2）设双曲线的方程为，将点代入求出即可
【详解】（1）和是椭圆：的两个焦点，
且点在椭圆C上，
∴依题意，，又，故
所以
故所求椭圆C的方程为．
（2）双曲线的两条渐近线的方程为，且经过点，
可设双曲线的方程为，
可得，即，
即有双曲线的方程为．
【点睛】本题考查的是椭圆和双曲线的基本知识，较简单.
18.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．
【答案】（1）； （2）见解析
【解析】
【分析】
(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.
【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，
由椭圆离心率，则b2=3．
∴椭圆C的方程；
（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B两点在椭圆C上，
∴，
∴点O到直线AB的距离，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．
由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，
由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，
整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，
∴ ．
∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．
∴点O到直线AB的距离为定值．
综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
19.已知动圆M经过定点，且与直线相切.
（1）求动圆M的圆心的轨迹方程曲线C；
（2）设直线l与曲线C相交于M，N两点，且满足，的面积为8，求直线l的方程.
【答案】（1）曲线C的方程为：，（2）直线l的方程为：
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义可知，曲线C是以为焦点，以直线为准线的抛物线，写出其方程即可
（2）设直线l：，，联立直线与抛物线的方程，消元可得
，由得到，所以直线l恒过定点，然后由即可求出
【详解】（1）设点，点到直线的距离为
依题意得
根据抛物线的定义可知，曲线C是以为焦点，以直线为准线的抛物线
所以曲线C的方程为：
（2）易知直线l的斜率显然存在
设直线l：，
由得
所以
所以
所以，所以
所以直线l：
所以直线l恒过定点
所以
所以，即
所以，所以，即
所以直线l的方程为：
【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.
20.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
21.已知函数，。
（1）求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1），（2）①当时在上单调递增；②当时在上单调递减，在上单调递增；③当时在上单调递减，在上单调递增
【解析】
【分析】
（1）求出和即可
（2），分、、三种情况讨论.
【详解】（1）因为
所以，
所以
所以函数在处的切线方程为：
，即
（2）的定义域是
所以当时在上单调递增
当时由得，由得
所以在上单调递减，在上单调递增
当时由得，由得
所以在上单调递减，在上单调递增
综上：①当时在上单调递增
②当时在上单调递减，在上单调递增
③当时在上单调递减，在上单调递增
【点睛】本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，比较典型.
22.已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若，恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】（1）的极小值为，无极大值；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出单调性即可
（2）分离变量得，然后利用导数求出右边的最小值即可
【详解】（I）当时，
当时，当时
所以在上单调递减，在上单调递增
所以的极小值为，无极大值.
（II）∵对，恒成立，
在恒成立，
令，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
所以实数a的取值范围为．
【点睛】恒成立问题一般通过分离变量转化为最值问题.