【数学】2020届一轮复习苏教版平行与垂直作业 5页

‎(七) 平行与垂直 A组——大题保分练 ‎1.如图，在三棱锥VABC中，O，M分别为AB，VA的中点，平面VAB⊥平面ABC，△VAB是边长为2的等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC.‎ ‎(1)求证：VB∥平面MOC；‎ ‎(2)求线段VC的长．‎ 解：(1)证明：因为点O，M分别为AB，VA的中点，所以MO∥VB.‎ 又MO⊂平面MOC，VB⊄平面MOC，‎ 所以VB∥平面MOC.‎ ‎(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，AC⊥BC，AB＝2，所以OC⊥AB，且CO＝1.‎ 连结VO，因为△VAB是边长为2的等边三角形，所以VO＝.又平面VAB⊥平面ABC，OC⊥AB，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，‎ 所以OC⊥平面VAB，所以OC⊥VO，‎ 所以VC＝＝2.‎ ‎2．(2018·南通二调)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E. ‎ 求证：(1)DE∥平面B1BCC1；‎ ‎(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1.‎ 证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ACC1为平行四边形．‎ 又E为A1C与AC1的交点， 所以E为A1C的中点. ‎ 同理，D为A1B的中点，所以DE∥BC. ‎ 又BC⊂平面B1BCC1，DE⊄平面B1BCC1，‎ 所以DE∥平面B1BCC1. ‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，‎ 又BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.‎ 又AC⊥BC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1，所以BC⊥平面A1ACC1.‎ 因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1ACC1.‎ ‎3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF.‎ ‎(1)求证：EF∥平面ABD；‎ ‎(2)若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD.‎ 证明：(1)因为BD∥平面AEF，‎ BD⊂平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，‎ 所以 BD∥EF.‎ 因为BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，‎ 所以 EF∥平面ABD.‎ ‎(2)因为AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，‎ 所以AE⊥CD.‎ 因为BD⊥CD，BD∥EF，所以 CD⊥EF，‎ 又AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，‎ 所以CD⊥平面AEF.‎ 又CD⊂平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD.‎ ‎4．(2018·无锡期末)如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.‎ 求证：(1)AC⊥平面BDE；‎ ‎(2)AC∥平面BEF.‎ 证明：(1)因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC.‎ 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，‎ 因为DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，且DE∩BD＝D，‎ 所以AC⊥平面BDE.‎ ‎(2)设AC∩BD＝O，取BE中点G，连结FG，OG，‎ 易知OG∥DE且OG＝DE.‎ 因为AF∥DE，DE＝2AF，‎ 所以AF∥OG且AF＝OG，‎ 从而四边形AFGO是平行四边形，所以FG∥AO.‎ 因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，‎ 所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF.‎ B组——大题增分练 ‎1．(2018·盐城三模)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，M，N分别是棱A1D1，D1C1的中点．‎ 求证：(1)AC∥平面DMN；‎ ‎(2)平面DMN⊥平面BB1D1D.‎ 证明：(1)连结A1C1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为AA1綊BB1，BB1綊CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC.又M，N分别是棱A1D1，D1C1的中点，所以MN∥A1C1，所以AC∥MN.又AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，所以AC∥平面DMN.‎ ‎(2)因为四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，‎ 所以DD1⊥平面A1B1C1D1，而MN⊂平面A1B1C1D1，‎ 所以MN⊥DD1.‎ 又因为棱柱的底面ABCD是菱形，所以底面A1B1C1D1也是菱形，‎ 所以A1C1⊥B1D1，而MN∥A1C1，所以MN⊥B1D1.‎ 又MN⊥DD1，DD1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，且DD1∩B1D1＝D1，‎ 所以MN⊥平面BB1D1D.‎ 而MN⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面BB1D1D.‎ ‎2.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，DC＝2，点E在PB上．‎ ‎(1)求证：平面AEC⊥平面PAD；‎ ‎(2)当PD∥平面AEC时，求PE∶EB的值．‎ 解：(1)证明：在平面ABCD中，过A作AF⊥DC于F，则CF＝DF＝AF＝1，‎ ‎∴∠DAC＝∠DAF＋∠FAC＝45°＋45°＝90°，即AC⊥DA.‎ 又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PA.‎ ‎∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD＝A，‎ ‎∴AC⊥平面PAD.‎ 又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PAD.‎ ‎(2)连结BD交AC于O，连结EO.‎ ‎∵PD∥平面AEC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC＝EO，∴PD∥EO，‎ 则PE∶EB＝DO∶OB.‎ 又△DOC∽△BOA，∴DO∶OB＝DC∶AB＝2∶1，‎ ‎∴PE∶EB的值为2.‎ ‎3.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)‎ 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.‎ 求证：(1)平面AEF⊥平面BB1C1C；‎ ‎(2)BC∥平面AEF.‎ 证明：(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1∥CC1.‎ 因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1.‎ 又AE⊥BB1，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，‎ 所以BB1⊥平面AEF.‎ 又因为BB1⊂平面BB1C1C，‎ 所以平面AEF⊥平面BB1C1C.‎ ‎(2)因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE＝∠ACF，AB＝AC，‎ 所以Rt△AEB≌Rt△AFC.‎ 所以BE＝CF.‎ 又BE∥CF，所以四边形BEFC是平行四边形．‎ 从而BC∥EF.‎ 又BC⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，‎ 所以BC∥平面AEF.‎ ‎4．(2018·常州期末)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．‎ ‎(1)求证：BD⊥AC；‎ ‎(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.‎ 证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PC.‎ 记AC，BD交于点O，连结OP.‎ 因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点．‎ 在△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.‎ 又PC∩OP＝P，PC⊂平面PAC，OP⊂平面PAC.‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.‎ ‎(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.‎ 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ 所以AD∥平面PBC.‎ 又AD⊂平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，‎ 所以AD∥QF，所以QF∥BC.‎