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- 2021-04-23 发布
高三教学质量检测考试
文科数学 2018．2[来
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案序号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．若复数，则实数（ ）
A． B． C． D．
3. 一只昆虫在半径为3的圆形区域内自山爬行，则其到边界的距离大于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
4. 过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则
A． B． C． D．
5. 在中，，，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为
A. B. C. D.
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第4天走的路程为
A．6里 B．12里 C．24里 D．48里
7. 已知不等式组表示的平面区域被圆C及其内部所覆盖，当圆C的面积最小时，圆C的方程是
A． B．
C． D．
8. 如图，格纸上正方形的边长为1，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，
则这个几何体的体积是
A． B． C． D．
9. 已知函数，则函数的大致图像是
10. 将函数的图像向左、右各平移个单位，所得的两个图像的对称轴重合，则的最小值为
A． B． C． D．
11.规定：对各位数字全不相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列所得到的三位数，称为原三位数的“顺数”；若将各位数字按照从小到、从左到右的顺序排列所得到的三位数，称为原三位数的“逆数”.如图，若输入a=782的，则输出的n为
A． B． C． D．
12.过抛物线C：的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为2，则线段
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知是等差数列，若则
14.已知，则
15.已知奇数在R上是增函数，函数.若，则把a,b,c按从小到大的顺序用不等号连接起来为
16.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为
三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．
17. (本小题满分12分)
在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边长，已知.
(1)求角B；
(2)若b=6，△ABC的面积，求a
18. (本小题满分12分)
某城市先后采用甲、乙两种方案治理空气污染各一年，各自随机抽取一年（365天）内100
天的空气质量指数API的检测数据进行分析，若空气质量指数值在[0,300]内为合格，否则为不合格．表1是甲方案检测数据样本的频数分布表，图l是乙方案检测数据样本的频率分布直方图．
API值
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,250]
(250,300]
大于300
天数
9
13
19
30
14
11
4
（1）将频率视为概率，求乙方案样本的频率分布直方图中a的值，以及乙方案样本的空
气质量不合格天数；
（2）根据图1，求乙方案样木的中位数；
（3）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有90％的把握认为该城市的空气质
量指数值与两种方案的选择有关．
甲方案
乙方案
合计
合格天数
不合格天数
合计
附：
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
19. (本小题满分12分)
如图，三棱柱的侧面为正方形，，D是AB的中点，
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱柱的体积。
20. (本小题满分12分)
已知椭圆，抛物线的焦点均在x轴上，的中心和的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录在下表中
x
-3
-2
-4
y
0
-4
（1）求，的标准方程；
（2）是否存在直线l满足条件：①直线l过曲线的焦点；②直线l与曲线交于不同
的两点A，B，且△AOB的面积是.若存在，求出直线l的万程；若不存在，请说明理由．
21. (本小题满分12分)
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：函数在区间上有极大值，且极大值小于0.
请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.
22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，P为上的动点，设.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C的交点为A，B.
（1）求直线以t为参数的方程和曲线C的普通方程；
（2）求的值.
23. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲.
设函数，其中.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求实数的值.
曲线C的极坐标方程为，两边同乘可得曲线C的一般方程为：；（2）将直线以t为参数的方程（t为参数）代入曲线得：
，，因为在直线上，所以
.
23. 设函数，其中.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求实数的值.
解：（1）当时，，
，即，
当时，原不等式可化为，解得，
当时，原不等式可化为，解得不等式无解，
当时，原不等式可化为，解得，
综上，原不等式的解集为
（2）由题意得，不等式可化为，
即，可得，解得，由不等式的解集为，得，解得.