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- 2021-04-23 发布
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应的位置上．
1.命题“x∈R，x2+x+1≤0”的否定是 ．
【答案】∀x∈R，x2+x+1＞0
【解析】
试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定：所以命题“x∈R，x2+x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1＞0
考点：全称命题与特称命题
2.若点P（a，3）在不等式2x+y<3表示的区域内，则实数a的取值范围是
【答案】a＜0
【解析】
试题分析：由题意可知将P（a，3）代入不等式2x+y<3成立，所以
考点：不等式表示平面区域
3.函数y=lg（x2﹣3x+2）的定义域为
【答案】（﹣∞，1）∪（2，+∞）
【解析】
试题分析：要使函数有意义，需满足或，定义域为（﹣∞，1）∪（2，+∞）
考点：函数定义域
4.若椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
试题分析：由方程可知
考点：椭圆性质
5.已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的 条件．（填“充
分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）
【答案】充要
【解析】
试题分析：椭圆 +y2=1的焦点在y轴上，所以，所以p是q的充要条件
考点：充分条件与必要条件
6.已知x＜0，则的最大值等于________．
【答案】
【解析】
试题分析：，当且仅当时等号成立，取得最小值
考点：均值不等式求最值
7.若2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1，则z=x+3y的最小值为
【答案】﹣5
【解析】
试题分析：作出不等式组 2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1，所表示的平面区域，
作出直线x+3y=0，对该直线进行平移，
可以发现经过点A（1，-2）时
Z取得最小值-5
考点：简单线性规划
8.已知方程表示椭圆，则k的取值范围为___________________
【答案】(3，4)∪(4，5)
【解析】
试题分析：，解不等式得取值范围(3，4)∪(4，5)
考点：椭圆方程与性质
9.已知命题p：|x﹣1|＜2和命题q：﹣1＜x＜m+1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值
范围
【答案】（2，+∞）
【解析】
试题分析：命题，命题，由p是q的充分不必要条件可得
考点：充分条件与必要条件
10.不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是
【答案】（2，+∞）
【解析】
试题分析：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，
即（a+2）x2+4x+a-1＞0对一切x∈R恒成立
若a+2=0，显然不成立
若a+2≠0，则解得a＞2．
综上，a＞2
考点：一元二次不等式的解法
11.已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为
【答案】7
【解析】
试题分析：∵xy=2x+y+2，∴，
∴
当且仅当即x=3时取等号
考点：基本不等式
12.已知F1，F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，A为下顶点，连接AF2并延长交椭圆于点B，
则BF1长为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：椭圆的a= ，b=1，c=1，
即有F1（-1，0），F2（1，0），A（0，-1），
AF2的方程为y=x-1，
代入椭圆方程，
可得3x2-4x=0，
解得x=0或，
即有B（，），
则
考点：椭圆的简单性质
13.下列命题中为真命题的是 ．
①命题“x∈R，x2+2＞0”的否定； ②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③ “全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
【答案】②④
【解析】
试题分析：①中原命题是真命题，所以否命题是假命题；②原命题的逆命题为：若x，y
全为0，在x2+y2=0为真命题，所以逆命题为真命题；③原命题的逆命题为相似三角形全等，是假命题；④中原命题是真命题，所以逆否命题是假命题
考点：四种命题
14.已知关于x的不等式x2－（4a+2）x+3a2+2a≤0（a＞－1）的解集中恰好含有3个整数解，则a
的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】
试题分析：由x2－（4a+2）x+3a2+2a≤0，得（x-3a-2）（x-a）＜0，
∵a＞-1，∴不等式的解为a＜x＜3a+2，
-1＜a≤0，-1＜3a+2＜2，整数解是0，1，不满足；
0＜a＜1，3≤3a+2＜4，即，整数解是1，2，3，满足．
a＞1，3a+2-a=2a+2＞4，不满足．
综上，满足条件的a的取值范围是或
考点：一元二次不等式的解法
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
设命题p：关于x的函数y=（a﹣1）x为增函数；命题q：不等式﹣x2+2x﹣2≤a对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【答案】．
【解析】
试题分析：利用一次函数与二次函数的单调性分别化简命题p，q，由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．即可得出．
试题解析：当命题p为真命题时，a＞2．
当命题q为真命题时，由﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1，∴a≥﹣1．
由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，可得命题p、q一真一假．
①当p真q假时，则，无解；
②当p假q真时，则，得﹣1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是．
考点：复合命题的真假
16.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．
【答案】（1）（2）4
【解析】
试题分析：（1）设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由椭圆C过点（0，2），其焦点为
F2（﹣，0），F2（，0），求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）由点P在椭圆C上，且PF1=4，求出PF2，|F1F2|，由此能求出△PF1F2的面积．
试题解析：（1）∵椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（﹣，0），F2（，0），
∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），
则，∴ =3，
∴椭圆C的标准方程为=1．
（2）∵点P在椭圆C上，且PF1=4，∴PF2=2×3﹣4=2，∵F1（﹣，0），F2（，0），
∴|F1F2|=2，∴．∴PF1⊥PF2，
∴△PF1F2的面积S===4．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
17.（本小题满分15分）
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽分别为4m和10m.求：
(1)若设休闲区的长A1B1＝xm，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2) 要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
【答案】(1) (2) 面积最小时长为100m，宽为40m
【解析】
考点：基本不等式在最值问题中的应用
18.（本小题满分15分）
设分别为椭圆的左、右两个焦点．
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】（1），焦点坐标为（±1，0）（2）
【解析】
试题分析：（1）把点A的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标．（2）设F1K的中点Q（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF1的中点Q的轨迹方程
试题解析：（1）由条件得
∴ ∴ ∴焦点坐标为（±1，0）
（2）设F1K中点为（x，y），K为（x0，y0）
则
又∵（x0，y0）在椭圆上 ∴ ∴
考点：圆锥曲线的轨迹问题；轨迹方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
19.（本小题满分16分）
已知关于的不等式．
（1）若此不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，解关于的不等式
【答案】（1）（2）时，解集为，时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为
【解析】
试题分析：（1）利用三个二次关系可知与不等式对应的方程的根为，代入可得实数的值；（2）解不等式时需对a分情况讨论来解不等式，时为一次不等式，时为二次不等式，结合二次函数图像求解
试题解析：（1）由题意可知，……………………………………………………… 2分
和为方程的两根， 于是，…………… 4分
（2）①当时，由，得；………………………………… 6分
②当时，不等式可化为，解得或；… 8分
③当时，不等式可化为，
若，即，则，…………………………… 10分
若，即，则不等式解集为，…………………………… 12分
若，即，则．………………………………… 14分
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，则不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．……………………… 16分[
考点：三个二次关系与分情况讨论
20.（本小题满分16分）
已知函数
（1）若,解不等式；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
考点：绝对值不等式解法，不等式与函数的转化及函数求最值