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- 2021-04-23 发布
2020 届高三数学（文）“大题精练”8
17．（12 分）在公差为 2 的等差数列 na 中， 1 1a ， 2 2a ， 3 4a 成等比数列.
（1）求 na 的通项公式；
（2）求数列 2n
na 的前 n 项和 nS .
18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，
17PA PD ， E 为 PA 的中点，点 F 在 PD 上， EF 平面 PCD ， M 在 DC 的延
长线上，且 2
15MC CD .
(1)证明: / /EF 平面 PBM .
(2)过点C 作 BD 的平行线，与直线 AB 相交于点G ，点Q 为 CG 的中点，求 E 到平面 PDQ
的距离.
19．（12 分）某农户考察三种不同的果树苗 A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗 A 的自
然成活率为 0.8，引种树苗 B、C 的自然成活率均为 0.9.
（1）若引种树苗 A、B、C 各 10 棵.
①估计自然成活的总棵数；
②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗 A
的概率；
（2）该农户决定引种 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽
培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可
获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种 B 种
树苗多少棵?
20．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 2
2
，焦距为 2．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 y kx 与椭圆 C 交于点 E，F，过点 E 作 EM x 轴于点 M，直线 FM 交椭圆
C 于另一点 N，证明： EF EN ．
21．（12 分）已知函数 3 2f x x ax .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 在[ 1, ) 上只有一个零点，求 a 的取值范围.
(二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计
分.
22．（10 分）在极坐标系中，已知曲线 1C 的方程为 6sin ，曲线 2C 的方程为
sin( ) 13
．以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy ．
（1）求曲线 1C ， 2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线 2C 与 y 轴相交于点 P ，与曲线 1C 相交于 A ， B 两点，求 1 1
PA PB
的值．
23. （10 分）设不等式|| 1| | 1|| 2x x 的解集为 A ．
（1）求集合 A ；
（2）若 a ，b ， c AÎ ，求证： 1 1abc
ab c
2020 届高三数学（文）“大题精练”8（答案解析）
17．（12 分）在公差为 2 的等差数列 na 中， 1 1a ， 2 2a ， 3 4a 成等比数列.
（1）求 na 的通项公式；
（2）求数列 2n
na 的前 n 项和 nS .
【解析】（1）∵ na 的公差为 2d ,∴ 2 1 2a a , 13 4a a .∵ 1 1a , 2 2a , 3 4a 成等
比数列,
∴ 2
1 1 11 8 4a a a ,解得 1 8a ,从而 8 2 1 2 6na n n .
（2）由（1）得 2 6na n , 2 (2 6) 2n n
na n ，
28 10 2 6 2 2 2n
nS n .
8 2 6 2 2 2
2 1 2
nn n
17 2 2nn n 2 17 2 2nn n
18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，
17PA PD ， E 为 PA 的中点，点 F 在 PD 上， EF 平面 PCD ， M 在 DC 的延
长线上，且 2
15MC CD .
(1)证明: / /EF 平面 PBM .
(2)过点C 作 BD 的平行线，与直线 AB 相交于点G ，点Q 为 CG 的中点，求 E 到平面 PDQ
的距离.
【解析】（1）证明:记 PB 的中点为 H ，连接 EH ，过 F 作 / /FK DM 交 PM 于 K ，连接 HK ，
则 / /EH AB ，且 1 12EH AB .因为 EF 平面 PCD ，所以 EF PD .在 PAD 中，
17PA PD ， 2AD ，易求 4
17
EF ， 15
2 17
PF .又 2
15MC CD ，则 34
15MD .
因为 PF KF
PD MD
，所以 1KF .
因为 EH FK ，且 / / / / / /AB EH CD FK ，所以四边形 EFKF 是平行四边形，所以
/ /EF HK ，又 HK 平面 PBM ， EF 平面 PBM ，所以 / /EF 平面 PBM .
（2）因为 EF 平面 PCD ，所以 EF CD ，而 ABCD 是正方形，所以 CD AD .因为
EF 与 AD 显然是相交直线，所以CD 平面 PAD ，所以平面 PAD 平面 ABCD .记 AD
的中点为O ，连接 OP ，OQ ，则 PO 平面 ABCD ，且 17 1 4PO .因为点Q 为CG
的中点，所以 3OQ ， 5PQ ， 10QD ，在 PQD 中， 5PQ ， 10QD ，
17PD ，所以 9cos
5 10
PQD .
13sin
5 10
PQD ，所以
1 13 135 102 25 10PQDS ，而三棱锥 P ADQ 的体积 1 1 2 3 4 43 2V .
记 A 到平面 PDQ 的距离为 d ，则 1 43 PQDS d ，所以 24
13d .因为 E 到平面 PDQ 的
距离是 A 到平面 PDQ 的距离的一半，所以 E 到平面 PDQ 的距离为 12
13 .
19．（12 分）某农户考察三种不同的果树苗 A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗 A 的自
然成活率为 0.8，引种树苗 B、C 的自然成活率均为 0.9.
（1）若引种树苗 A、B、C 各 10 棵.
①估计自然成活的总棵数；
②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗 A
的概率；
（2）该农户决定引种 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽
培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可
获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种 B 种
树苗多少棵?
【解析】（1）①依题意：10 0.8 10 0.9 10 0.9 26 ,所以自然成活的总棵数为 26.
②没有自然成活的树苗共 4 棵,其中两棵 A 种树苗、一棵 B 种树苗、一棵 C 种树苗,分别设为
1a , 2a ,b,c,从中随机抽取两棵,可能的情况有： 1 2,a a , 1,a b , 1,a c , 2 ,a b , 2 ,a c , ,b c ,
抽到的两棵都是树苗 A 的概率为 1
6 .
（2）设该农户种植 B 树苗 n 棵,最终成活的棵数为 30.9 1 0.9 0.8 0.964n n n ,未能
成活的棵数为 0.96 0.04n n n ,由题意知 0.96 300 0.04 50 200000n n ,则有
699.3n .所以该农户至少种植 700 棵树苗,就可获利不低于 20 万元.
20．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 2
2
，焦距为 2．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 y kx 与椭圆 C 交于点 E，F，过点 E 作 EM x 轴于点 M，直线 FM 交椭圆
C 于另一点 N，证明： EF EN ．
【解析】（1）由题 2
2
c
a
，2 2c ，∴ 2a ， 1e ， 1b ， 故椭圆方程为
2
2 12
x y ；
（2）设 0 0( , )E x y ， 0 0,F x y ， 0 0( ),M x ，则 0
0
0
: ( )2FM
yl y x xx
，与椭圆方程联
立得 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 02 2 4 0x y x x y x x y x ，由
2
0 0
0 2 2
0 0
2
2N F N
x yx x x x x y
得
2 3
0 0 0
2 2
0 0
3 2
2N
x y xx x y
，
0
0 0
0 0 00
0 0 0 0
2
2
N
N
EN
N N N
y x x yy y y yxk x x x x x x x
0 0
2 3
0 0 00
02 2
0 0
3 22
2
y y
x y xx xx y
2 2
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
2
2 2 2 2 4
y y y x y
x x x x y x y
2 2 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2 2
2 2 2
y x y x x
x x y x y y
，
∴ 0 0
0 0
1EN EF
x yk k y x
，即 EF EN .
21．（12 分）已知函数 3 2f x x ax .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 在[ 1, ) 上只有一个零点，求 a 的取值范围.
【解析】（1） 23f x x a .①当 0a 时， 0f x ， f x 在 R 上单调递减；
②当 0a 时，令 23 0f x x a ，解得 1 3
ax ， 2 3
ax ，
所以 f x 在 3, 3
a
和 3 ,3
a
上单调递减，在 3 3,3 3
a a
上单调递增.
（2）当 0a 时， f x 在 R 上单调递减，且 2 6 2 0f a ，则只需
1 1 2 0f a ，所以 3a ，又 0a ，所以 0a .当 0a 时， f x 在 , 3
a
和 ,3
a
上单调递减，在 ,3 3
a a
上单调递增，且 2 2 03 3 3
a a af
，①当
13
a ，即 3a 时，若 f x 在[ 1, ) 上恰好只有一个零点，
则 1 3 0f a ，则 a 无解；②当 13
a ，即 0 3a 时，若 f x 在[ 1, ) 上
恰好只有一个零点，则 2 2 03 3 3
a a af
，解得 3a .综上， a 的取值范围为
,3 .
(二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题
计分.
22．（10 分）在极坐标系中，已知曲线 1C 的方程为 6sin ，曲线 2C 的方程为
sin( ) 13
．以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy ．
（1）求曲线 1C ， 2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线 2C 与 y 轴相交于点 P ，与曲线 1C 相交于 A ， B 两点，求 1 1
PA PB
的值．
【解析】（1）由 6sin ，得 2 6 sin ，曲线 1C 的直角坐标方程为 22 3 9x y ，
由 sin 13
，得 1 3 1 3sin cos sin cos 12 2 2 2
，曲线 2C 的
直角坐标方程为： 3 2 0x y
（2）由（1）知曲线 2C 为直线，倾斜角为 2
3
，点 P 的直角坐标为 0,2 。直线 2C 的参
数方程为
1
2
32 2
x t
y t
（t 为参数），代入曲线 22
1 : 3 9C x y 中，并整理得
2 3 8 0t t ，设 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 3t t ， 1 2 8t t ，
1 2 1 2 8PA PB t t t t ， 2
2
1 2 1 1 2 1 24 35PA PB t t t t t tt t ，
1 1 35
8
PA PB
PA PB PA PB
23. （10 分）设不等式|| 1| | 1|| 2x x 的解集为 A ．
（1）求集合 A ；
（2）若 a ，b ， c AÎ ，求证： 1 1abc
ab c
．
【解析】（1）由已知，令
2, 1
( ) 1 1 2 , 1 1
2, 1
x
f x x x x x
x
，由| ( ) | 2f x 得
{ | 1 1}A x x ．
（2）证明：要证 1 1abc
ab c
， 只需证|1 | | |abc ab c ，只需证
2 2 2 2 2 21 a b c a b c ，
只需证 2 2 2 2 21 (1 )a b c a b ，只需证 2 2 2(1 )(1 ) 0a b c ，由 a ，b ，c AÎ ，得 1 1ab ，
2 1c
则 2 2 2(1 )(1 ) 0a b c 恒成立．综上可得： 1 1abc
ab c