2021届高考数学一轮复习第八章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质课件 39页

第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质 课标要求 考情风向标 1. ◆ 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行 . ◆ 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行 . 2. 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理， 并加以证明： ◆ 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个 平面与此平面的交线与该直线平行 . ◆ 两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相 交所得的交线相互平行 . 3. 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简 单命题 1. 在高考中，线、面平行 关系的考查仅次于垂直 关系的考查，是高考重 点内容，在要求上不高， 属容易题，平时训练难 度不宜过大，抓好判定 定理的掌握与应用即可 . 2. 学会应用“化归思 想”进行“线线问题、 线面问题、面面问题” 的互相转化，牢记解决 问题的根源在“定理” 通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： 直线 与平 面的 位置 关系 在平面内 无数个交点 相交 1 个交点 平行 0 个 交点 定义 若一条直线和平面平行，则 它们没有公共点 判定定理 1 a ⊄ α ， b ⊂ α ，且 a ∥ b ⇒ a ∥ α 判定定理 2 α ∥ β ， a ⊂ α ⇒ a ∥ β 性质定理 a ∥ α ， a ⊂ β ， α ∩ β ＝ l ⇒ a ∥ l 平面 与平 面的 位置 关系 相交 无数个交点 平行 0 个 交点 定义 若两个平面平行，则它们没有公 共点 判定定理 1 a ⊂ α ， b ⊂ α ， a ∩ b ＝ M ， a ∥ β ， b ∥ β ⇒ α ∥ β 判定定理 2 a ⊥ α ， a ⊥ β ⇒ α ∥ β 性质定理 1 α ∥ β ， a ⊂ α ⇒ a ∥ β 性质定理 2 α ∥ β ， γ ∩ α ＝ a ， γ ∩ β ＝ b ⇒ a ∥ b ( 续表 ) 1. 已知直线 l 和平面 α ，若 l ∥ α ， P ∈ α ，则过点 P 且平行于 l 的直线 ( ) B A. 只有一条，不在平面 α 内 B. 只有一条，且在平面 α 内 C. 有无数条，一定在平面 α 内 D. 有无数条，不一定在平面 α 内 解析： 过直线外一点作该直线 的平行线有且只有一条， ∵ P ∈ α ， ∴ 这条直线也应该在平面 α 内 . 2.(2019 年四川成都模拟 ) 已知直线 a ， b 和平面 α ，下列说 法中正确的是 ( ) B A. 若 a ∥ α ， b ⊂ α ，则 a ∥ b B. 若 a ⊥ α ， b ⊂ α ，则 a ⊥ b C. 若 a ， b 与 α 所成的角相等，则 a ∥ b D. 若 a ∥ α ， b ∥ α ，则 a ∥ b 解析： 对于 A ，若 a ∥ α ， b ⊂ α ，则 a ∥ b 或 a 与 b 异面， 故 A 错误；对于 B ，利用线面垂直的性质，可知若 a ⊥ α ， b ⊂ α ， 则 a ⊥ b ，故 B 正确；对于 C ，若 a ， b 与 α 所成的角相等，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 C 错误；对于 D ，由 a ∥ α ， b ∥ α ， 得 a ， b 之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故 D 错误 . 3.(2019 年湖南联考 ) 已知 m ， n 是两条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) D A. 若 m ∥ α ， n ∥ α ，则 m ∥ n B. 若 m ∥ α ， m ∥ β ，则 α ∥ β C. 若 α ⊥ γ ， β ⊥ γ ，则 α ∥ β D. 若 m ⊥ α ， n ⊥ α ，则 m ∥ n 解析： A 中，两直线可能平行、相交或异面； B 中，两平 面可能平行或相交； C 中，两平面可能平行或相交； D 中，由 线面垂直的性质定理可知结论正确，故选 D. 4.(2018 年浙江 ) 已知平面 α ，直线 m ， n 满足 m ⊄ α ， n ⊂ α ， ) A 则“ m ∥ n ” 是“ m ∥ α ” 的 ( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点 1 直线与平面平行的判定与性质 例 1 ： (1) (2017 年新课标 Ⅰ ) 在下列四个正方体中， A ， B 为 正方体的两个顶点， M ， N ， Q 为所在棱的中点，则在这四个正 方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( ) A B C D 解析： 由 B 图知 AB ∥ MQ ，则直线 AB ∥ 平面 MNQ ；由 C 图知 AB ∥ MQ ，则直线 AB ∥ 平面 MNQ ；由 D 图知 AB ∥ NQ ， 则直线 AB ∥ 平面 MNQ . 故选 A. 答案： A (2)(2018 年河北石家庄调研 ) 如图 8-4 -1 ， 在 三 棱 台 ABC - A 1 B 1 C 1 的 6 个顶点中任取 3 个点作平面 α ，设 α ∩ 平面 ABC ) ＝ l ，若 l ∥ A 1 C 1 ，则这 3 个点可以是 ( 图 8-4-1 A. B ， C ， A 1 C. A 1 ， B 1 ， C B. B 1 ， C 1 ， A D. A 1 ， B ， C 1 解析： 在棱台中， AC ∥ A 1 C 1 ， l ∥ A 1 C 1 ，则 l ∥ AC 或 l 为直 线 AC . 因此平面 α 可以过点 A 1 ， B ， C 1 ，选项 D 正确 . 答案： D (3)( 多选 ) 如图 8-4-2 ，四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱 形，侧面 PAB 为等边三角形， E ， F 分别为 PA ， BC 的中点 . 下 列结论正确的是 ( ) A. BE ∥ 平面 PFD B. EF ∥ 平面 PCD C. 平面 PAB 与平面 PCD 交线为 l ，则 图 8-4-2 CD ∥ l D. BE ⊥ 平面 PAC 解析： 取 PD 中点 M ，易知 BE ∥ FM ， EF ∥ CM ，故 A 、 B 正确； CD ∥ AB 得 CD ∥ 平面 PAB ，故 CD ∥ l ， C 正确， D 显然 不正确，故选 ABC. 答案： ABC 【 规律方法 】 证明直线 a 与平面 α 平行，关键是在平面 α 内 找一条直线 b ，使 a ∥ b ，如果没有现成的平行线，应依据条 件 作出平行线 . 有中点的常作中位线 . 考点 2 平面与平面平行的判定与性质 例 2 ： (1) 正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2 ，点 M 为 CC 1 的中点，点 N 为线段 DD 1 上靠近 D 1 的三等分点，平面 BMN 交 AA 1 于点 Q ，则 AQ 的长为 ( ) A. 2 3 B. 1 2 C. 1 6 D. 1 3 解析： 如图 D78 所示，连接 BQ ， QN ，平面 AA 1 B 1 B ∥ 平面 CC 1 D 1 D ， 平 面 BMNQ ∩ 平 面 CC 1 D 1 D ＝ MN ， 平 面 BMNQ ∩ 平 面 AA 1 B 1 B ＝ BQ ， 由平面与平面平行的性质定理可得 BQ ∥ MN . 同理可得 BM ∥ QN . ∴ 四边形 BQNM 为平行四边形 . 图 D78 答案： D (2) 在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为棱 AD 中 点，过点 B 1 ，且与平面 A 1 BE 平行的正方体的截面面积为 ( ) 图 D79 答案： C (3)(2017 年河北衡水模拟 ) 在 如 图 8 -4-3 所 示 的 几 何 体 ABCDFE 中， △ ABC ， △ DFE 都是等边三角形，且所在平面平 行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平 面 ABC . ① 求几何体 ABC - DFE 的体积； ② 求证：平面 ADE ∥ 平面 BCF . 图 8-4-3 ① 解： 取 BC 的中点 O ， ED 的中点 G ，如图 D80 所示， 连接 AO ， OF ， FG ， AG . ∵ AO ⊥ BC ， AO ⊂ 平面 ABC ，平面 BCED ⊥ 平面 ABC ， ∴ AO ⊥ 平面 BCED . 同理 FG ⊥ 平面 BCED . ② 证明： 由 (1) 知， AO ∥ FG ， AO ＝ FG ， ∴ 四边形 AOFG 为平行四边形， ∴ AG ∥ OF . 又 AG ⊄ 平面 BCF ， OF ⊂ 平面 BCF ， ∴ AG ∥ 平面 BCF . 又 ∵ DE ∥ BC ， DE ⊄ 平面 BCF ， BC ⊂ 平面 BCF ， ∴ DE ∥ 平面 BCF ， 又 AG ∩ DE ＝ G ， ∴ 平面 ADE ∥ 平面 BCF . 图 D80 【 规律方法 】 证明面面平行的方法有 (1) 面面平行的定义； (2) 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4) 如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行； (5) 利用 “线线平行”“ 线面平行 ”“ 面面平行 ”的相互 转化 . 考点 3 线面、面面平行的综合应用 例 3 ： 如图 8-4-4 ，已知有公共边 AB 的两个正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， P ， Q 分别是对角线 AE ， BD 上的点， 且 AP ＝ DQ . 求证： PQ ∥ 平面 CBE . 图 8-4-4 证明： 方法一，如图 8-4-5(1) ，连接 AQ 并延长交 BC 于 G ， 连接 EG ， ∴ PQ ∥ EG . 又 PQ ⊄ 平面 CBE ， EG ⊂ 平面 CBE ， ∴ PQ ∥ 平面 CBE . (1) (2) (3) 图 8-4-5 ∵ CD ＝ AB ， AE ＝ BD ， PE ＝ BQ ， ∴ PK ＝ QH . ∴ 四边形 PQHK 是平行四边形 . ∴ PQ ∥ KH . 又 PQ ⊄ 平面 CBE ， KH ⊂ 平面 CBE ， ∴ PQ ∥ 平面 CBE . 方法三，如图 8-4-5(3) ，过点 P 作 PO ∥ EB ，交 AB 于点 O ， 连接 OQ ， ∴ 平面 POQ ∥ 平面 CBE . 又 ∵ PQ ⊄ 平面 CBE ， PQ ⊂ 平面 POQ ， ∴ PQ ∥ 平面 CBE . 【 规律方法 】 证明线面平行，关键是在平面内找到一条直 线与已知直线平行 . 方法一是作三角形得到的；方法二是通过作 平行四边形得到在平面内的一条直线 KH ；方法三利用了面面平 行的性质定理 . 【 跟踪训练 】 1. 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，棱长为 a ， M ， N 分别为 ) 位置关系是 ( A. 相交 C. 垂直 B. 平行 D. 不能确定 解析： 如图 D81 ，连接 CD 1 ， AD 1 ， BC 1 . 在 CD 1 上取点 P ， 使 D 1 P ＝ 2 a 3 ， ∴ MP ∥ BC ， PN ∥ AD 1 .∵ AD 1 ∥ BC 1 ， ∴ PN ∥ BC 1 . ∴ MP ∥ 面 BB 1 C 1 C ， PN ∥ 面 BB 1 C 1 C .∴ 面 MNP ∥ 面 BB 1 C 1 C ， ∴ MN ∥ 面 BB 1 C 1 C . 故选 B. 图 D81 答案： B 难点突破 ⊙ 立体几何中的探究性问题 (1) 证明：平面 AMD ⊥ 平面 BMC ； (2) 在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 MC ∥ 平面 PBD ？说 明理由 . 图 8-4-6 (1) 证明： 由题设知，平面 CMD ⊥ 平面 ABCD ，交线为 CD . ∵ BC ⊥ CD ， BC ⊂ 平面 ABCD ， ∴ BC ⊥ 平面 CMD . 故 BC ⊥ DM . ∴ DM ⊥ CM . 又 BC ∩ CM ＝ C ， ∴ DM ⊥ 平面 BMC . 而 DM ⊂ 平面 AMD ，故平面 AMD ⊥ 平面 BMC . (2) 解： 当 P 为 AM 的中点时， MC ∥ 平面 PBD . 证明如下：如图 8-4-7 ，连接 AC 交 BD 于 O . 图 8-4-7 ∵ ABCD 为矩形， ∴ O 为 AC 中点 . 连接 OP ， ∵ P 为 AM 中点， ∴ MC ∥ OP . 又 MC ⊄ 平面 PBD ， OP ⊂ 平面 PBD ， ∴ MC ∥ 平面 PBD . 【 规律方法 】 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在， 从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了 使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分 条件 ( 出现矛盾 ) ，则不存在 . 而对于探求点的问题，一般是先探 求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合 要求的证明 . 【 跟踪训练 】 2.(2019 年北京 ) 如图 8-4- 8 ，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥ 平 面 ABCD ，底部 ABCD 为菱形， E 为 CD 的中点 . (1) 求证： BD ⊥ 平面 PAC ； (2) 若 ∠ ABC ＝ 60° ，求证：平面 PAB ⊥ 平面 PAE ； (3) 棱 PB 上是否存在点 F ，使得 CF ∥ 平面 PAE ？说明理由 . 图 8-4-8 (1) 证明： ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PA ⊥ BD . ∵ 底面 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD . ∵ PA ∩ AC ＝ A ， PA ⊂ 平面 PAC ， AC ⊂ 平面 PAC ， ∴ BD ⊥ 平面 PAC . (2) 证明： ∵ 底面 ABCD 是菱形且 ∠ ABC ＝ 60° ， ∴△ ACD 为正三角形 .∴ AE ⊥ CD . ∵ AB ∥ CD ， ∴ AE ⊥ AB . ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， AE ⊂ 平面 ABCD ， ∴ AE ⊥ PA . ∵ PA ∩ AB ＝ A ， ∴ AE ⊥ 平面 PAB . 又 AE ⊂ 平面 PAE ， ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PAE . (3) 解： 存在点 F 为 PB 中点时，满足 CF ∥ 平面 PAE . 理由如下： 分别取 PB ， PA 的中点 F ， G ，连接 CF ， FG ， EG ，如图 D82. 图 D82 即四边形 CEGF 为平行四边形 .∴ CF ∥ EG . 又 CF ⊄ 平面 PAE ， EG ⊂ 平面 PAE ， ∴ CF ∥ 平面 PAE . 1. 直线与平面平行判定定理要具备三个条件： (1) 直线 a 在 平面 α 外； (2) 直线 b 在平面 α 内； (3) 直线 a ， b 平行 . 三个条件缺 一不可，在推证线面平行时，一定要强调直线 a 不在平面内， 否则，会出现错误；平面与平面平行判定定理“ 如果一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ” ， 必须注意 “ 相交 ” 的条件 . 2. 直线与平面平行的性质定理：线面平行，则线线平行 . 要 注意后面线线平行的意义：一条为平面外的直线 ，另一条为过 平面外直线的平面与已知平面的交线 . 对于本定理要注意避免 “ 一条直线平行于平面，就平行于平面内的任何一条直线”的 错误 . 3. 利用线面平行的判定定理时经常要作辅助线，利用线面 平行的性质定理时经常要作辅助面，无论作辅助线还是辅助面， 都得有理有据，不能随意去作，如果已知条件中出现中点的话， 中位线是首选 . 4. 在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维” 到“高维”的转化，其转化关系为 在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化 的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化” .