天津市东丽区第一百中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 15页

‎2019-2020学年天津市第一百中学第一学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题 ‎1.设全集，集合，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出后可求.‎ ‎【详解】，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题.‎ ‎2.下列图形可以表示函数图象的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义可得D为正确的选项.‎ ‎【详解】在A,B,C三个选项对应的图像上，均有一个对应两个的情况，而D符合函数的定义，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查对函数定义的理解，注意函数定义中，从非空集合到非空集合的映射满足中的元素任意性和中元素的唯一性，此问题属于基础题.‎ ‎3.若命题，则命题的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.‎ ‎【详解】命题为存在性命题（特称命题），其否定为：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎4.对于幂函数①，②，③，④⑤，其中既是奇函数且在上又是增函数的有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项中的函数逐个判断可得正确的选项.‎ ‎【详解】对于①中函数，它是奇函数，且在上是增函数，故①符合；‎ 对于②中函数，它是偶函数，故②不符合；‎ 对于③中函数，因，故该函数是奇函数，‎ 又该函数在上是增函数，故③符合；‎ 对于④中函数，它在上是减函数，故④不符合；‎ 对于⑤中函数，其定义域为，定义域不关于原点对称，所以该函数不是奇函数，故⑤不符合.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的性质，注意幂函数的单调性是由幂指数的正负决定的，当幂函数的幂指数是整数时，它的奇偶性决定了幂函数的奇偶性.‎ ‎5.下列不等式正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项证明或根据反例可得正确的选项.‎ ‎【详解】对于A，若，则，当，故A错；‎ 对于B，取，则，故B错；‎ 对于C，取，则，但，故C错；‎ 对于D，因为总成立，故当，必有成立，故D成立.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，注意代数式变形时要等价变形才行，如不等式的两边同乘以一个代数式，需要考虑该代数式的符号，又如两个同向不等式可加，但不可相乘，这些问题都是基础题，也是易错题.‎ ‎6.若，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用基本不等式可求函数的最小值.‎ ‎【详解】，‎ 因为，所以，由基本不等式可以得到，‎ 当且仅当时等号成立，故的最小值为6.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.‎ ‎7.“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【详解】由可得或，所以若可得，反之不成立，是的必要不充分条件 故选B ‎【点睛】命题：若则是真命题，则是的充分条件，是的必要条件 ‎8.已知偶函数在上是增函数，则下列关系是中成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用为偶函数得到，再根据在上是增函数可得的大小，从而得到正确的选项.‎ ‎【详解】因为为偶函数，所以，‎ 因为且在上是增函数，‎ 所以即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】如果一个函数具有奇偶性，那么它的图像具有对称性，偶函数的图像关于 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，因此知道其一侧的图像、解析式、函数值或单调性，必定可以知晓另一侧的图像、解析式、函数值或单调性.‎ ‎9.函数在区间上单调递增，实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出二次函数图象的对称轴，根据单调性可得其满足的条件，从而得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】二次函数图象的对称轴为，因为在上单调递增，‎ 所以即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查含参数的二次函数在给定范围上的单调性，一般地，此类问题可根据开口方向和对称轴的位置来求参数的取值范围.‎ ‎10.函数为上的减函数，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的单调性可得其在各段上的单调性且在分段处有高低之分，从而可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为是上的减函数，所以在为减函数，‎ 在上为减函数且，‎ 所以，故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性，注意分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段的点也具有相应的高低分布.‎ 二、填空题 ‎11.已知函数，则______.‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出后可求的值.‎ ‎【详解】，故，‎ 故答案为：21.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的值选择正确的解析式进行计算，此类问题属于基础题.‎ ‎12.计算=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数幂的运算性质计算即可.‎ ‎【详解】原式.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查分数指数幂的运算，注意对化简时注意的奇偶性，一般地，当为奇数时，，当为偶数时.‎ ‎13.函数是定义在上的奇函数，且当时，，则=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的性质可求的值.‎ ‎【详解】因为为奇函数，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】如果一个函数具有奇偶性，那么它的图像具有对称性，偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称，因此知道其一侧的图像、解析式或函数值，必定可以知晓另一侧的图像、解析式或函数值.‎ ‎14.若且，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由展开后利用基本不等式可求的最小值.‎ ‎【详解】因为，故，‎ 又，故，‎ 由基本不等式有，‎ 当且仅当时等号成立，故的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.‎ ‎15.已知，若，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，就分类讨论后可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 若，则即.‎ 若，则即，‎ 综上，有.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查含参数的集合的包含关系，注意根据集合等式挖掘集合之间的包含关系，利用包含关系求参数的取值范围时，要优先讨论含参数的集合为空集的情形.‎ ‎16.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，函数的定义域为，转化为在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为，‎ 则满足在上恒成立，‎ 当时，不等式等价于在上恒成立；‎ 当时，则满足且，解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义转化为不等式的恒成立，结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.设全集,集合 ‎（1）求；‎ ‎（2）若集合，且，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若集合，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合后可求.‎ ‎（2）求出，根据可得满足的不等式，从而可求实数的取值范围.‎ ‎（3）根据可得满足不等式，从而可求实数的取值范围，注意端点可以重合.‎ ‎【详解】（1），‎ 故.‎ ‎（2），因为，故即.‎ ‎（3）因，所以即.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算（交集和并集）以及含参数的集合的包含关系，考虑包含关系时注意不同集合中的范围的端点是否可以重合.‎ ‎18.已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.‎ ‎（1）求出函数在上的解析式；‎ ‎（2）画出函数的图象；‎ ‎（3）根据图象，写出函数的单调递减区间及值域.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设 则 ，根据函数 为上的偶函数，当 时，，可得函数解析式； （2）根据函数的解析式，可得函数的图象； （3）利用函数的图象，可得函数的单调区间与函数的值域．‎ 试题解析：(1)∵函数是定义域为的偶函数， ‎ 当时，，∴‎ 综上：‎ ‎（2）图像如图所示：‎ ‎（3）单调递减区间为：.(说明：-1,0,1区间端点处开闭均可.)‎ 函数的值域为.‎ ‎19.已知关于的不等式.‎ ‎（1）不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求不等式的解集；‎ ‎（3）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据不等式的解与对应的方程的根的关系结合韦达定理可求实数的值.‎ ‎（2）移项通分后可把分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零.‎ ‎（3）就五种情形分类讨论可得不等式的解.‎ ‎【详解】（1）因为不等式的解集为，‎ 所以为的两个根，所以，‎ 解得，故.‎ ‎（2）由（1）得即为，故，‎ 所以，所以，故原不等式的解集为.‎ ‎（3）不等式等价于，‎ 整理得到：.‎ 当时，不等式的解为.‎ 当时，不等式的解为.‎ 当时，，故不等式的解为.‎ 当时，，不等式的解为.‎ 当时，，故不等式的解为.‎ 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；‎ 当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；‎ 当时，不等式的解为.‎ ‎【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．‎ ‎20.已知定义在上的函数是奇函数.‎ ‎（1）求实数值；‎ ‎（2）判断函数的单调性并加以证明；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）为上的减函数，证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用和可得的值，注意检验.‎ ‎（2）利用定义可证明为上的减函数.‎ ‎（3）函数不等式等价于不等式在上恒成立，求出在上的最小值后可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为为上的奇函数，所以且，‎ 所以 ，所以，故.‎ 此时，，为上的奇函数.‎ ‎（2），可判断为上的减函数，证明如下：‎ 设，则，‎ 因为，故，而，‎ 即，所以为上的减函数.‎ ‎（3）函数不等式可化为，‎ 因为为上的减函数且为奇函数，‎ 故可得即在上恒成立，‎ 令，，当时，有最小值且，‎ 所以.‎ ‎【点睛】含参数的奇函数或偶函数，可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少.具体函数的单调性证明的基本步骤为设点（注意任取）、作差、定号，最后给出结论，其中作差后需通过因式分解、配方法等定出差的符号.函数不等式可利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则.‎