2017-2018学年四川省泸县第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 11页

‎2017-2018学年四川省泸县第二中学高二下学期期中考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．点M的直角坐标为化为极坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）‎ A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=1‎ ‎4.函数f(x)＝ln(5＋4x－x2)的单调递减区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.点()在圆的内部，则的取值范围( )‎ ‎ A．－1<<1 B． 0<<1 C．–1<< D．－<<1‎ ‎6．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎7.直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎8.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎9.若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．定义在上的函数的导函数无零点，且对任意都有，若函数在上与函数具有相同的单调性，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（90分）‎ 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13.函数在处的切线方程为____________.‎ ‎14.已知函数在与时都取得极值，若对，不等式 恒成立，则c的取值范围为______。‎ ‎15.一个长、宽、高分别为、、密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．‎ ‎16.已知函数，对于任意都有恒成立，则的取值范围是 .‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．‎ ‎(Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)讨论f(x)的单调性．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 剑门关华侨城2018首届新春灯会在剑门关高铁站广场举行.在高铁站广场上有一排成直线型的4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率是，现将这4盏灯依次记为，，，.并令，设，当这些装饰灯闪烁一次时.‎ ‎（Ⅰ）求的概率.‎ ‎（Ⅱ）求的概率分布列及的数学期望.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是梯形，.，，，侧面底面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 设抛物线的焦点为，准线为.已知以为圆心，半径为4的圆与交于、两点，是该圆与抛物线的一个交点，.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知点的纵坐标为且在上，、是上异于点的另两点，且满足直线和直线的斜率之和为，试问直线是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎(Ⅰ)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。‎ ‎22.选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若、，，，证明：.‎ 数学（理科）答案 ‎1-6 CCADDB 7-12 ACBDAD ‎ 13.; 14. 15. 16. ‎ ‎17..解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4， ‎ 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8． ‎ 从而a＝4，b＝4． ‎ (2) 由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，‎ f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·． ‎ 令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2． ‎ 当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0． ‎ 故f(x)在 (－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． ‎ ‎18.解：解：（Ⅰ）由题意得.‎ ‎（Ⅱ）ξ的可能取值为0,1,2,3,4，‎ 而 ，‎ ‎∴ξ的概率分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴=……=.‎ ‎19.证明：（Ⅰ）因为，.‎ 所以，是等腰直角三角形，‎ 故.‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，即.‎ 因为侧面底面，交线为，‎ 所以平面，所以平面平面；‎ ‎（Ⅱ）过点作交的延长线于点，‎ 因为侧面底面，‎ 所以是与底面所成的角，即，‎ 过点在平面内作，‎ 因为侧面底面，‎ 所以底面.‎ 如图建立空间直角坐标系.‎ 设，，，，‎ 则，，‎ 设是平面法向量 则 取 设是平面法向量 则，‎ 取，‎ ‎.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 方法二：（Ⅱ）过点作交的延长线于点.‎ 因为侧面底面.‎ 所以是与底面所成的角，即.‎ 设，则，‎ 在中，，，‎ 所以，，‎ 取中点，因为，所以.‎ 过点作交于点，连接，‎ 则是二面角的平面角.‎ 在中，，，‎ 由余弦定理得：.‎ 可求得，.‎ 在中，由余弦定理得.‎ 在中，可求得，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）设，，则 由得 ‎ 因为在上，所以. 因此点的轨迹方程为 ‎（2）由题意知 设，则 ‎，‎ 由得 又由（1）知，故 所以，即.‎ 又过点存在唯一直线垂直于，‎ 所以过点且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.解：（1）由，得.‎ 整理，得恒成立，即.‎ 令.则.‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴函数的最小值为.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（2）∵为数列的前项和，为数列的前项和.‎ ‎∴只需证明即可.‎ 由（1），当时，有，即.‎ 令，即得.‎ ‎∴.‎ 现证明，‎ 即. ‎ 现证明.‎ 构造函数，‎ 则.‎ ‎∴函数在上是增函数，即.‎ ‎∴当时，有，即成立.‎ 令，则式成立.‎ 综上，得.‎ 对数列，，分别求前项和，得 ‎.‎ ‎22.解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.‎ 由，，可得直线的直角坐标方程为.‎ 将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.‎ ‎（2）设.‎ 点的极坐标化为直角坐标为.‎ 则.‎ ‎∴点到直线的距离.‎ 当，即时，等号成立.‎ ‎∴点到直线的距离的最大值为.‎ ‎23.解：23.解：（1）由得：，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：，‎ 因为，，即，，‎ 所以，‎ 所以，即，所以原不等式成立.‎