云教金榜（云南大理丽江怒江）2020届高三年级诊断性联考数学（文）试题答案 6页

2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷文科数学参考答案及评分细则·第 1 页（共 6 页） } 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题 1．C［解析］N={x x＞ 3 2 ，所以 M∪N={x x≥－ }2 ，故选 C． 2．A［解析］ 22 1 2i 1 2i (1 2i)i 11i(1 i) 2i 2i 2z + ++====−+−− − ，所以 z 的虚部为 1 2 ，故选 A． 3．D［解析］ 6x = ， 75y.= ，代入 ˆy = 7 2 ˆbx + 得 2 3 ˆb = ，故选 D． 4．B［解析］如图，作出 2 20 0 xy y y x −+ + ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ≥ ≥ ≤ ， ， ， 表示的平面区域， 当直线 z=2x–3y 过点(0，2)时，zmin= －6，故选 B． 5．C［解析］设公比为 q，因为 a3a5=a4 2=4，a2=1，所以 q2=2，所以 22 257 3 5 35 35 2aa aqaq qaa aa −−===−− ，故选 C． 6．B［解析］f (x)=log2 x − 2 x +a 为增函数，若零点在区间(1，2)内，则有 f (1)＜0，且 f (2)＞0， 即 − 2+a＜0，且 a＞0，所以 a∈(0，2) ⊂ (0，3)，故选 B． 7．B［解析］因为 f (－x)= 11cos( π )ln cosπ ln11 xxxxxx −− +−⋅ = ⋅ =−+ − －f (x)，所以 f (x)为奇函数， 排除 A，D；又由 f (x)=0 得 x=0 或cos πx =0，可知 f (x)图象与 x 轴交点有无数个，故选 B． 8．D［解析］S= 11 12132 100 1 2 2 3 99 100 ++⋅⋅⋅+=−+−+⋅⋅⋅+− ++ + 99 9= ，故选 D． 9．A［解析］因为∠DAB=∠DCB=90°，所以棱 DB 的中点到 A，B，C，D 的距离相等，即 DB 为三棱锥 D-ABC 的外接球的直径，因为 AB=2，DA= 3 ，所以 BD= 7 ，所以外接球 的表面积为 7π ，故选 A． 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷文科数学参考答案及评分细则·第 2 页（共 6 页） 10．D［解析］f (x)= πsin 3 cos 2sin( )3xxx−=−ωωω，因为 f (x)的图象与 x 轴的两个相邻交 点的距离等于 2 π ，所以ω =2，所以 g (x)=2sin［2(x+ 6 π ) 3 π− ］=2sin 2x，所以( 4 π ， 3 π )为 g (x)的一个减区间，故选 D． 11．A［解析］因为双曲线的离心率为 2，所以 a=1．延长 F2M 交 PF1 于点 N，因为 PM 平分 ∠F1PF2，PM⊥F2N，所以 MN=F2M，PN=PF2，所以 OM∥PF1，所以 OM= 1 2 F1N=1， 故选 A． 12．D［解析］设 g (x)= ()f x x ，当 x (0 + )∈∞， 时， 2 () ()() xf x x f xgx ′′ = − ＞0，所 以 g (x)在(0 + )∞， 单调递增，因为 f (x)是奇函数，所以 c= 11() (2)=(2)22f f−− ，因为 2＞1＞ 042 .− ，所以 c＞a＞b，故选 D． 二、填空题 13．60［解析］因为 a4+a8=2a6=14，a3+a5+a7=3a5=15，所 以 a6=7，a5=5，所 以 S10=5(a5+a6)=60． 14．4［解析］ 2()=1 afx x ′ − ，f (x)在点［ 2(2)f， ］处的切线斜率为 (2)=1 2 af ′ − ， () cosg xx′ = ，g (x)在点［ ()gππ， ］处的切线斜率为 () 1g′ π =− ，依题意有112 a−=−， 解得 a=4． 15．(x+2)2+(y+1)2=4［解析］依题意设圆 C 的圆心为(2b，b) (b＜0)，则半径 r = －2b，因为圆 C 截 x 轴所得的弦长为 23，所以 4b2－b2=3，解得 b = －1，所以圆 C 的标准方程为 (x+2)2+(y+1)2=4． 16．（－3，1）［解析］因为 BC=1，∠ABC=90°，所以 2 1ACBDBCCACD CACD•= −•=−• JJJGJJJGJJJGJJGJJJGJJGJJJG ， 因为∠ADC=90°，AC=2，所以 ( 4)CA CD• ∈0 ， JJG JJJG ，所以 ( 1)AC BD• ∈−3 ， JJJGJJJG ．（或建立平面 直角坐标系，利用向量坐标运算计算） 三、解答题（其他正确解法请比照给分） 17．解：（1）由已知，一中、四中、十七中三所学校学生人数之比为 10:9: 6， 由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 人， 因此应从一中、四中、十七中三所学校学生中分别抽取 10 人，9 人，6 人．…3 分 （2）依题意，从 6 名同学选出 3 人的所有可能的结果为 {A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，E}，{A，B，F}， {A，C，D}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，E}， 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷文科数学参考答案及评分细则·第 3 页（共 6 页） {A，D，F}，{A，E，F}，{B，C，D}，{B，C，E}， {B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{B，E，F}， {C，D，F}，{C，E，F}，{D，E，F}，共 19 种． ……………8 分 选出 3 人中没有选择化学学科的同学的所有可能的结果为 {A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，E}， {A，C，D}，{A，C，E}，{A，D，E}， {B，C，D}，{B，C，E}，{B，D，E}，共 9 种． ………………11 分 ∴事件 M 发生的概率 P(M) 9 19= ． ………………12 分 18．证明：（1）取 CD 中点为 M，连接 ME，MF． ∵E，F 分别是 D1C，AB 的中点，底面 ABCD、 侧面 CDD1C1 均为平行四边形， ∴ME∥DD1∥CC1，MF∥BC． 又∵ME ⊄ 平面 BCC1B1，MF ⊄ 平面 BCC1B1， ∴ME∥平面 BCC1B1，MF∥平面 BCC1B1， …………3 分 ∴平面 MEF∥平面 BCC1B1，且 EF ⊂ 平面 MEF， ∴EF∥平面 BCC1B1． …………6 分 （2）作 D1O⊥CD，垂足为 O，连接 BO． ∵侧面 CDD1C1⊥底面 ABCD， ∴D1O⊥底面 ABCD． …………8 分 ∵D1B=D1C，∴BO=CO． 又∠DAB=45°，则∠BCD=45°， 故△BOC 为等腰直角三角形，BO⊥CO． …………10 分 ∴CO⊥平面 D1BO， ∴D1B⊥CD． …………12 分 19．解：（1）由已知 cos cos cos += + abc A BC 及正弦定理得 sin sin sin cos cos cos += + A BC A BC ， 所以 sin Acos B+sin Acos C=cos Asin B+cos Asin C， 即 sin Acos B − cos Asin B=cos Asin C − sin Acos C， 得 sin (A − B)= sin (C − A)．所以 A − B= C − A 或(A − B)+ (C − A)= π （不成立）． 即 2A= B+C，得 A= 3 π ． …………6 分 （2）由 cos C=7cos B，得 222 222 722 abc acb ab ac + −+−=⋅ ， …………7 分 又由（1）及余弦定理得 a2=b2+c2–bc，代入上式得 3b=5c． …………9 分 由三角形的面积公式，得 13153sin244 bcSbcA ===， 所以 bc=15． 解得 b=5，c=3． …………11 分 所以 a2=52+32–15=19，解得 a= 19 ． …………12 分 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷文科数学参考答案及评分细则·第 4 页（共 6 页） 20．解：（1）将 P( 2 ，1)代入 x2=2py，解得 p=1，∴C2 的方程为 x2=2y． …………1 分 ∵椭圆 C1 的焦点为( 2 ，0)，则 2c = ，又 22 2 22 21+=1=ab cab +， ， ∴ 2a = 4， 2 2b = ， ∴C1 的方程为 22 =142 xy+ ． …………4 分 （2）设点 M 的坐标为(m， 2 2 m ) (m>0)，则 M 处切线方程为 y =mx − 2 2 m ， …5 分 将(1，0)代入，得 0=m − 2 2 m ，解得 m=2， ∴直线 l 的方程为 y=2x − 2． ……………6 分 联立方程组 22+2 4 22 xy yx ⎧ = ⎨ =−⎩ ， ， 化简得 9x2 − 16x+4=0， ∴ 2(16) 4 9 4 435=5 =99AB −−××⋅ ． ∵△NAB 的面积为12 7 9 ， ∴N 到直线 l 的距离为 65 5 ． ……………8 分 设过 N 点与 l 平行的直线 l1 为 y = 2x+n． 则 l 与 l1 的距离为 2 65= 55 n + ，解得 n1= − 8，n2=4， 联立方程组 22+2 4 28 xy yx ⎧ = ⎨ =−⎩ ， ， 化简得 9x2 − 64x+124=0，无实数解， ∴n≠ − 8． 联立方程组 22+2 4 2+4 xy yx ⎧ = ⎨ =⎩ ， ， 化简得 9x2+32x+28=0，解得 x1= 14 9− ，x2= − 2， ∴N 点的坐标为( 14 9− ， 8 9 )，( − 2，0)． ……………12 分 21．解：（1）f′(x)= 1 x – 2 2 1 a x +()= 2 2 12 1 x ax xx +− + () ()= 2 2 21 1 1 xax xx + −+ + () () ，定义域 x∈(0，+∞)． …………2 分 令 g(x)=x2+2(1–a)x+1， =4(1–a)2–4 （a＞0）， ① ≤0，即 0＜a≤2 时，g(x)≥0，从而 f′(x)≥0，∴f(x)在(0，+∞)单调 递增； …………3 分 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷文科数学参考答案及评分细则·第 5 页（共 6 页） ②当 ＞0，即 a＞2 时，由 f′(x)=0，解得 x1=a–1– 2 2aa− ，x2=a–1+ 2 2aa− ， ∴当 x∈(0，x1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当 x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当 x∈(x2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． ………………6 分 （2）当 a=2 时，由（1）可知 f(x)= ln x– 21 1 x x − + ()在(0，+∞)单调递增， 又 f(1)=1，∴x＞1 时，f(x)＞0，即 ln x＞ 21 1 x x − + ()． …………8 分 下证 x＞ 2 时， 21 1 x x − + ()＞(1–x)3–1+x， 即证 2 1x + ＞1–(x–1)2， 即证 2＞x+1–(x+1)(x–1)2， 即证 x2＞2，显然成立， ∴原不等式得证． ……………12 分 22．解：（1）依题意得 ρ =2 2 cos( 4θ π– )=2(cosθ +sinθ )， 即 2ρ =2( ρ cosθ + ρ sinθ )， ………………2 分 可得 x2+y2–2x–2y=0， 故 C2 的直角坐标方程为(x–1)2+(y–1)2=2． ………………5 分 （2）曲线 C1 的参数方程为 11 2 32 2 xt yt ⎧ =−⎪⎪⎨ ⎪ =+⎪⎩ ， ， （t 为参数）， 化为普通方程为 3 x+y– 3 – 2=0， ………………7 分 由（1）知曲线 C2 是以(1，1)为圆心， 2 为半径的圆， 圆心到直线 C1 的距离 d= 22 31 3 2 31 +− − + || () = 21 2 − ＜r= 2 ， 于是直线与圆相交， 所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 32 1 2 − ． ……………10 分 2020 年云教金榜高三年级诊断性联考卷文科数学参考答案及评分细则·第 6 页（共 6 页） 23．解：（1）f (x)= 73 31 3 2 72 xx xx xx −+ −⎧ ⎪−+ −⎨ ⎪ −⎩ ，， ，≤ ， ， ＜ ＜ ≥. ………………1 分 当 x＜–3 时，–x+7≤x+5，x≥1，则 x∈∅； 当–3≤x＜2 时，–3x+1≤x+5，x≥–1，则–1≤x＜2； 当 x≥2 时，x–7≤x+5，x∈R，则 x≥2． ………………4 分 综上可得，不等式 f (x)≤x+5 的解集为[–1，+∞)． ………………5 分 （2）由（1）可知 f(x)的最小值为–5， ………………6 分 根据柯西不等式，(a+3mb)2≤(2a2+3b2)( 1 2 +3m2) =5( 1 2 +3m2)， ∴a+3mb≤ 21 325 m+()． ………………8 分 依题意有 21 325 m+()≥5， ………………9 分 解得 m≤– 6 2 或 m≥ 6 2 ． ………………10 分