【数学】2020届一轮复习人教A版第32课三角函数综合问题作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(32)‎ ‎ 1. 已知sin2α＝，则cos2＝____．‎ 解析：因为sin2α＝，所以cos2＝＝＝.‎ ‎ 2. 在△ABC中，·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为____．‎ 解析：由题意得·＝，则||||＝，所以△ABC的面积S＝||||·sinA＝××＝.‎ ‎ 3. 将函数y＝sin2x－1的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为__y＝cos2x__．‎ 解析：将函数y＝sin2x－1的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos2x－1的图象，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝cos2x.‎ ‎ 4. 已知0<α<<β<π，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝__－__．‎ 解析：因为cosα＝，且0<α<<β<π，所以sinα＝＝，cosβ<0.因为cos(α＋β)＝－，<α＋β<，所以sin(α＋β)＝±＝±，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－或(舍)，所以cosβ＝－.‎ ‎ 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋≥1，则B的取值范围是____．‎ 解析：因为＋≥1，所以由正弦定理得＋≥1，即a2＋c2－b2≥ac，所以由余弦定理得cosB＝≥＝.因为B为三角形的内角，所以B∈.‎ ‎ 6. 若△ABC的内角A，B满足＝2cos(A＋B)，则tanB的最大值为____．‎ 解析：因为sinA>0，sinB>0，所以＝2cos(A＋B)＝－2cosC>0，所以cosC<0，所以C为钝角，所以sinB＝－2sinAcosC.又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＋cosAsinC＝－2sinAcosC，即cosAsinC＝－3sinAcosC，所以tanC＝－3tanA，所以tanB＝－tan(A＋C)＝－＝＝≤＝，当且仅当＝3tanA时等号成立，即tanB的最大值为.‎ ‎ 7. 设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，sinx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋2b)，则满足不等式f′(x)≥2的x的取值范围为__{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}__．‎ 解析：f(x)＝a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝sin2x＋cos2x＋2(sin2x＋sinxcosx)＝1＋1－cos2x＋sin2x＝2sin(2x－)＋2，则f′(x)＝4cos.由f′(x)≥2，得cos≥，所以2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ ‎ 8. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a2＋b2＋c2＝2absinC，则△ABC的形状是__等边三角形__．‎ 解析：在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absinC①，又由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcosC②，①＋②得2(a2＋b2)＝2ab(sinC＋cosC)＝4absin，所以sin＝≥＝1(当且仅当a＝b时取等号)．又sin≤1，所以sin＝1.因为C是三角形的内角，所以C＝.又a＝b，所以△ABC为等边三角形. ‎ ‎ 9. 设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为__2__．‎ 解析：易知周期T＝＝4.因为对任意x∈R，存在x1，x2使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，所以f(x1)是最小值，f(x2)是最大值，所以|x1－x2|的最小值为半个最小正周期，所以最小值为T＝2.‎ ‎10. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知cos2A＋cos2B＝2cos2C，则cosC的最小值为____．‎ 解析：由cos2A＋cos2B＝2cos2C得1－2sin2A＋1－2sin2B＝2(1－2sin2C)，所以sin2A＋sin2B＝2sin2C.由正弦定理得a2＋b2＝2c2.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得a2＋b2＝c2＋2abcosC＝2c2，所以cosC＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，所以cosC的最小值为. ‎ ‎11. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且△ABC的面积为S，·＝S.‎ ‎(1) 求cosA的值；‎ ‎(2) 若a，b，c成等差数列，求sinC的值．‎ 解析：(1) 由·＝S得bccosA＝×bcsinA，即sinA＝cosA，‎ 代入sin2A＋cos2A＝1，整理得cos2A＝.‎ 由sinA＝cosA知cosA>0，所以cosA＝. ‎ ‎(2) 由a，b，c成等差数列，可得2b＝a＋c.‎ 由正弦定理可得2sinB＝sinA＋sinC，即2sin(A＋C)＝sin A＋sin C，‎ 将cosA＝，sinA＝cosA＝代入上式并整理得 cosC＝，‎ 代入sin2C＋cos2C＝1整理得65sin2C－8sinC－48＝0，解得sinC＝或sinC＝－.‎ 因为C∈(0，π)，所以sinC＝. ‎ ‎12. 已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n.‎ ‎(1) 若f(x)＝1，求cos的值；‎ ‎(2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围．‎ 解析：(1) 由题意知f(x)＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋ ‎＝sin＋＝1，所以sin＝，‎ 所以cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－. ‎ ‎(2) 因为acosC＋c＝b，‎ 所以由余弦定理得a·＋c＝b，即b2＋c2－a2＝bc，‎ 所以cosA＝＝.‎ 因为0