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- 2021-04-22 发布
【考纲解读】
要
求
备注
内 容
A B C
平面向量的概念
√
【来.源：
全,品…
中 & 高 *
考*网】
平
面向量
平面向量的加法、
减法及数乘运算
√
1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含
义．
2．理解向量的几何表示．
3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义．
4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量
共线的含义．
5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【直击考点】
题组一 常识题
1． 化简( 的结果是________．
【解析】原式＝
( ) ( )AB BM BO CB OM− + − +
( ) ( )AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC+ + + + = + + + + =
2 ． 若 2(x－1
3a)－1
2(b ＋ c － 3x) ＋ b ＝0 ， 其 中 a ， b ，c 为 已 知向 量， 则 x ＝
______________．
【解析】由 2(x－1
3a)－1
2(b＋c－3x)＋b＝0，得 (2＋3
2 )x－2
3a－1
2b－1
2c＋b＝0，即 7
2x＝2
3a
－1
2b＋1
2c，
所以 x＝ 4
21a－1
7b＋1
7c.
3． a 表示向东走 1 km，b 表示向南走 1 km，则 a＋b 表示向________方向走
________km.
【解析】易知 a＋b 表示向东南方向走 2 km.
4．已知 M 是△ABC 的边 BC 上的中点， ＝a， ＝b，则＝________．
【解析
1
2 (a＋b)．
题组二 常错题
5．若四边形 ABCD 满足 ，则四边形 ABCD 的形状是________．
【解析】 ，所以四边形 ABCD 是梯形．
6．若 a 与 b 是共线向量，b 与 c 是共线向量，且 b 是非零向量，则 a 与 c 的关系是
________．
【解析】由共线向量的概念知，向量 a 与向量 c 共线．注意：若 b 是零向量，则向量 a
与向量 c 的关系不确定．
7．已知两向量 a，b，若|a|＝1，|b|＝3，则|a＋b|的取值范围是________．
AB AC
1 1, ( ) ( )2 2AB BM AM AC CM AM AM AB BM AC CM AB AC+ = + = ∴ = + + + = + =
1
2AD BC=
/ / ,| | | |AD BC AD BC≠
题组三 常考题
8 ． 设 D ， E ， F 分 别 为 △ ABC 的 三 边 BC ， CA ， AB 的 中 点 ， 则
________ .
【解析】因为 D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中点，所以
. 全品教学网
9． 设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________．
【解析】因为 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以存在唯一实数 t，使得 λa＋b＝t(a＋2b)，所以
{λ＝t，
1＝2t，解得 λ＝t＝1
2.
【知识清单】
考点 1 向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点 2 平面向量的线性运算
一．向量的线性运算
向量运算 定义【来.源：全,品…中&高*考*网】 法则(或几何意义) 运算律
ED EF+ =
BE
1 1 1, , ( )2 2 2ED BA EF BC ED EF BA BC BE= − = − ∴ + = − + = −
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
；【来.源：全,品…中&高*考*网】
(2)结合律：
减法
求 a 与 b 的相反向量
－b 的和的运算叫做
a 与 b 的差 三角形法则
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 λa，它的长度与
方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，
λa＝0.
2．运算律：设 λ，μ 是两个实数，则：
① ；② ；③ .
考点 3 共线向量
共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa..
【考点深度剖析】
本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要
条件是本节的重点内容．但由于本章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基本内
容为主．
【重点难点突破】
a b b a＋ ＝ ＋
( +( )a b c a b c＋ ) + ＝ ＋
( ) ( )a aλ µ λµ＝ ( )a a aλ µ λ µ＋ ＝ ＋ ( )a b a bλ λ λ＋ ＝ ＋
考点 1 向量的有关概念
【1-1】给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若 是不共线的四点，则 ＝ 是四边形 为平行四边形的充要
条件；
③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b；
④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
其中假命题的个数为________.
【答案】3
【1-2】给出下列命题：
① 的充要条件是 且 ；
②若向量 与 同向，且 ，则 ；
③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
④若向量 与向量 平行，则向量 与 的方向相同或相反；
⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
⑥任一向量与它的相反向量不相等．
其中真命题的序号是________．
A B C D， ， ， AB DC ABCD
a b＝ | |a b| ＝| a b/ /
a b | |a b| >| a b>
a b a b
【答案】⑤
【解析】①当 与 是相反向量时，满足 且 ，但 ≠ ，故①假；
②向量不能比较大小，故②假；
③ 与任意向量平行，故③假；
④当 与 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假；
⑤由相等向量定义知，⑤真；
⑥ 的相反向量仍是 ，故⑥假． 全品教学网
【思想方法】
(1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的
理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
(2)几个重要结论
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
【温馨提醒】忽略 与 0 的区别，把零向量 误写成 0 而致误．【来.源：全,品…中&高*考*网】
考点 2 平面向量的线性运算
在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 ＝ ， ＝ ＋λ ，则 λ 等于
________.
【答案】
a b | |a b| ＝| a b/ / a b
0
a b
0 0
0 0
AD 2 DB CD 1
3 CA CB
2
3
【2-2】平行四边形 OADB 的对角线交点为 C，＝ ，＝ ，＝a，＝b，用 a、b 表示、、.
【答案】 = a＋ b, a＋ b， ＝ a－ b.
【解析】 ＝a－b， ＝ ＝ a－ b，
＝ a＋ b， ＝a＋b，
＝ ＋
＝ ＝ a＋ b，
＝ a－ b. 全品教学网
【思想方法】
1
3
1
3
OM 1
6
5
6 ON = 2
3
2
3 MN 1
2
1
6
BA BM 1
6 BA 1
6
1
6
OM OB BM= + 1
6
5
6 OD
ON OC CN= + 1
2 OD 1
6 OD
2
3 OD 2
3
2
3
MN ON OM= − 1
2
1
6
1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，
求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三
角形中求解．
【温馨提醒】注意向量运算的几何意义
考点 3 共线向量
【3-1】在 中， 分别为 的中点， 相交于 点，设
，试用 表示 .
【答案】
【3-2】已知 是△ABC 所在平面内的一点，若 ，其中 λ∈R，则点 一定
在________.
【答案】AC 边所在直线上
【解析】由 得 ，∴ .则 为共线向量，又
有一个公共点 三点共线，即点 在直线 上．
ABC△ E F、 AC AB、 ,BE CF G
a b，
1 1
3 3a b+
P CB PA PBλ= + P
CB PA PBλ= + CB PB PAλ− = CP PAλ= ,CP PA
,CP PA P C P A∴， 、 、 P AC
【思想方法】
1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值；
2.若 不共线，则 的充要条件是 ；这一结论是解决求参数问题的重
要依据；
3.若 ，则 三点共线.
【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a≠0”这一条件
【易错试题常警惕】
向量线性运算应注意的问题
(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。
(2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个。
(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，
当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。
(4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合。
a b, 0a bλ µ =+ 0λ µ= =
AB ACλ= , ,A B C
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