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- 2021-04-22 发布
高安二中2018—2019上学期高二期中考试
数学(文科)试题
考试时间：120分钟 分值：150分
命题人：熊芳升 校对人：敖龙
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）
1. 命题“若，则”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2．下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）
3.设实数均不为零，则“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的（ ）条件
A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
4.阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
5.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A. 至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球
C. 恰有一个红球与恰有二个红球 D. 至少有一个红球与至少有一个白球
6.已知点P是边长为4的正方形内任一点，则P到四个顶点的距离均大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.设命题p：． 命题：若,则方程表示焦点在 轴上的椭圆.那么下列命题为真命题的是（ ）
8.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
9． 我国某颗人造地球卫星的运行轨迹是以地心F为一个焦点的椭圆，若它的近地点A距离地面m公里，远地点B距离地面M公里，地球半径为R公里，则该卫星轨迹的离心率e是（ ）
10. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为 ( )
A 0.27；78 B 0.27；83
C 2.7；78 D 2.7,；3
11. 已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线
与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围( )
12.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13.设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数， ），则的方差为__________．
14. 执行程序框图，该程序运行后输出的S的值是__________．
15. 椭圆和双曲线有相同的焦点F1 ,F2 ,
P是两条曲线的一个交点，则 ．
16. 已知点是椭圆上的动点，分别为椭圆的左，右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，
且＝0，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
已知命题：，命题：．
（1） 若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围；
（2） 若是的充分条件，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
某中学高二年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（Ⅰ）求的值，并计算甲班7位学生成绩的方差；
（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
19.（本小题满分12分）
某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示.
（1）求毕业大学生月收入在的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，还要再从这10000人中依工资收入按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽取多少人？
20.（本小题满分12分）
已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：
（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；
（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取2个点，求这两个点都在直线的右下方的概率.
附参考公式：回归方程中中和最小二乘估计分别为
,
21. （本小题满分12分）
已知抛物线：的准线方程是
(1) 求抛物线的方程；
(2) 过点的直线与抛物线交于两点，设，
且恒成立，求实数的取值范围.
22.（本题满分12分）
已知椭圆过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于、两点，为原点.
①求证：；
②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明:为定值.
高安二中2018—2019上学期高二期中考试
数学(文科)试题参考答案
一、 选择题：1. B 2．A 3. B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9．B 10.A 11. C 12.D
二、填空题 13. 4 14. -9 15. 16.(0,3)
三、解答题
17.(本小题满分10分)
（1）若真：，若真：，…………………………………2分
由已知，、一真一假.
①若真假，则，无解；………………………………………4分
②若假真，则，∴的取值范围为.…………6分
（2）对于：，由已知,对任意，恒成立，
故，故………………………………………10分
18.（本小题满分12分）
解：（I）∵甲班学生的平均分是85，
∴，
∴x=5，………………………………………………………………………………2分
∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；………………………………………4分
甲班7位学生成绩的方差为s2==40；…………………6分
(II）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），
（D，E）………………………………………………………………………………8分
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．………………………………………………………………………………10分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．…12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）月收入在的频率为0.15 ……………………………………2分
（2）频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，
则，解得，
根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为；……………………………7分
（3）居民月收入在的频率为，
所以10000人中月收入在的人数为（人），
再从10000人用分层抽样方法抽出100人，
则月收入在的这段应抽取人.…………………………12分
20.（本小题满分12分）
（1）散点图如图所示：
………………………………………2分
（2）依题意，，，
，，
，∴；
∴回归直线方程为，故当时，.………………………7分
（3）五个点中落在直线右下方的三个点记为，另外两个点记为，从这五个点中任取两个点的结果有
共10个，
其中两个点均在直线的右下方的结果有3个，所以概率为.
………………………………………12分
A． （本小题满分12分）
解：（1）抛物线的准线方程是 ， 解得 ，
抛物线的方程是. ---------------------------------------------------- 3´
（2）设直线方程是与联立，消去得， ，
设，则， -------------------------- 6´
， ， - ---------------------- 8´
，
得对恒成立， - --------------------------------------- 10´
而解得 ---------------------------- 12´
22.（本题满分12分）
解：(1) ，所以
又，解得，，
所以椭圆的方程为 ………………………3分
（2）①证明：设、，依题意，直线一定有斜率， 的方程为，
联立方程消去得 ，
，又，，
………………………6分
②证明：设、，直线的方程为
，，
联立方程消去得 ，
，，
而
由 得
，即
. 所以为定值.
………………………………………12分