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- 2021-04-22 发布
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云南省玉溪市2018-2019学年高二下学期期末数学试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合 ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合B,再求.
【详解】
由题可知，集合，，
则.
故选：A
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，再判断得解.
【详解】
，
所以复数对应的点为（3,5），
故复数表示的点位于第一象限.
故选：A
【点睛】
本题主要考查共轭复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出每一个小组的人数，再求编号落在[101,500]的人数.
【详解】
每一个小组的人数为，
所以编号落在[101,500]的人数为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．设满足约束条件 ，则的最大值是（ ）
A．-3 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
先由约束条件画出可行域，再利用线性规划求解.
【详解】
如图即为，满足约束条件的可行域，
由，解得，
由得，
由图易得：当经过可行域的时，直线的纵截距最大，z取得最大值，
所以的最大值为6，
故选：．
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．已知等差数列的前项和，且，则（ ）
A．4 B．7 C．14 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用等差数列的定义、通项公式及前项和公式，求出首项和公差的值，可得结论．
【详解】
等差数列的前项和为，且，
，．
再根据，可得，，
则，
故选：．
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前项和公式，属于基础题．
6．若 ，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数对数函数的单调性，利用指数对数函数的运算比较得解.
【详解】
因为 ，所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查指数函数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．已知分别为四面体的棱上的点,且,,,,则下列说法错误的是（ ）
A．平面 B．
C．直线相交于同一点 D．平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面平行以及空间直线和平面的位置关系分别进行判断即可．
【详解】
，，
是的中位线，
，且，
平面，平面，
平面，故正确，
，，
，且，
则，故B正确，
是梯形，则直线，相交，设交点为，
则，平面，，平面，
则是平面和平面的公共点，
则，
即直线，，相交于同一点，
故正确，
因为，，所以直线与必相交，所以错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面位置关系的判断，根据空间直线和平面
平行的性质是解决本题的关键．
8．在打击拐卖儿童犯罪的活动中,警方救获一名男孩,为了确定他的家乡,警方进行了调查:
知情人士A说,他可能是四川人,也可能是贵州人；
知情人士B说,他不可能是四川人；
知情人士C说,他肯定是四川人；
知情人士D说,他不是贵州人.
警方确定,只有一个人的话不可信.根据以上信息,警方可以确定这名男孩的家乡是（ ）
A．四川 B．贵州
C．可能是四川,也可能是贵州 D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定B,C中必有一真一假，再分析出A,D两个正确，男孩为四川人.
【详解】
第一步,找到突破口和的话矛盾,二者必有一假.
第二步,看其余人的话, 和的话为真,因此男孩是四川人.
第三步,判断突破口中B,C两句话的真假, 的话为真, 的话为假,即男孩为四川人.
故选：A
【点睛】
本题主要考查分析推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
9．已知向量满足，且 ，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设的夹角为，两边平方化简即得解.
【详解】
设的夹角为，
两边平方，得，
即，
又，
所以，
则，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10．设圆 截轴和轴所得的弦分别为和，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出|AB|,|CD|,再求四边形的面积.
【详解】
可化为，
令y=0得x=,则，
令x=0得，所以，
四边形的面积.
故答案为：C
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
11．已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
等价于在上恒成立，即在上恒成立，再构造函数
并求g(x)的最大值得解.
【详解】
在上恒成立，
则在上恒成立，
令，，
所以在单调递增，
故g(x)的最大值为g(3)=.
故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题.
12．已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为1的等比三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设球心到平面的距离为，求出外接球的半径R=,再根据求出，再根据求三棱锥的体积.
【详解】
设球心到平面的距离为，
三棱锥外接圆的表面积为，则球的半径为，
所以，故，
由是的中点得：.
故选：B
【点睛】
本题主要考查几何体的外接球问题，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．函数 的最小正周期为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的周期公式求出函数的最小正周期.
【详解】
由题得函数的最小正周期.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的最小正周期的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
14．已知等比数列的前项和 ，若，，则__________．
【答案】8
【解析】
【分析】
利用求解.
【详解】
，则.
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
15．已知函数只有一个零点，则__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，再由题得,化简即得m的值.
【详解】
因为，
所以函数为偶函数，
因为函数只有一个零点，
故，
所以.
故答案为：-3.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断和函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16．设分别为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线左支于两点，且，，，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合双曲线的定义，求出a的值，再由，，得到为直角，求出c的值，即得双曲线的离心率.
【详解】
结合双曲线的定义， ，
又，可得，，
即，
又，，，故为直角，
所以，，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
评卷人
得分
三、解答题
17．在中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理化简即得A的值；（2）由题得，，再利用正弦定理求出a,c，即得△ABC的周长.
【详解】
解：（1）根据，可得
所以.
又因为，所以.
（2），，所以，，
因为，所以，，
则的周长为.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先证明，，再证明平面；（2）连接，求出AC,CB的长，再求四棱锥的体积.
【详解】
（1）证明：因为 ，，
所以，即，
同理可得，
因为，所以平面.
（2）解：连接，
，，
.
.
【点睛】
本题主要考查线面垂直关系的证明，考查锥体的体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19．为了研究广大市民对共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑共享单车”.
(1)分别估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；
(2)请完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.
不喜欢骑共享单车
喜欢骑共享单车
合计
男
女
合计
附表及公式：，其中.
0.15
0．10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为，女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为（2）填表见解析，没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关
【解析】
【分析】
(1)利用古典概型的概率估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；（2）先完成列联表，再利用独立性检验判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.
【详解】
解:(1)由调查数据可知,男用户中“喜欢骑共享单车”的比率为，
因此男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.
女用户中“喜欢骑共享单车”的比率为，
因此女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.
（2）由图中表格可得列联表如下：
不喜欢骑共享单车
喜欢骑共享单车
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
将列联表代入公式计算得：
所以没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率的计算，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20．已知分别为椭圆的左右焦点，上顶点为，且的周长为，且长轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，若直线与椭圆交于两点，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知求出a,b，即得椭圆的标准方程；（2）由，得，得到韦达定理，再把韦达定理代入数量积化简即得解.
【详解】
解：（1）由题可知， ，，得
又，解得
故椭圆的方程为，
（2）由，得，
设，则，，
∵，，
∴
将，代入，得.
【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
21．已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在上的最小值为，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程；（2）由题得，再对m分类讨论求出函数f(x)的最小值，解方程即得m的值.
【详解】
解：（1），则
，，
所以曲线在处的切线方程为，
即.
（2）由，可得
①若，则在上恒成立，即在上单调递减，
则的最小值为，故，不满足，舍去；
②若，则在上恒成立，即在单调递增，
则的最小值为，故，不满足，舍去；
③若，则当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，解得，满足.
综上可知，实数的值为.
【点睛】
本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于两点，求的值.
【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为（2）
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标化直角坐标的公式求直线l的直线坐标方程，消参求出曲线的普通方程；（2）直线 的参数方程为（为参数），代入，得，再利用直线参数方程t的几何意义求的值.
【详解】
解：（1）因为直线的极坐标方程为，
所以直线的直角坐标方程为.
因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的普通方程为.
（2）由题可知
所以直线 的参数方程为（为参数），
代入，得，
设两点所对应的参数分别为，
即，，
【点睛】
本题主要考查极坐标参数方程和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
23．已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出，
，再解不等式得解.
【详解】
解：（1）不等式可化为
当时，，，所以无解；
当时，，所以；
当时，，，所以.
综上，不等式的解集是.
（2），
若，恒成立，则，
解得：.
【点睛】
本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.