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- 2021-04-22 发布
第3讲 客观“瓶颈”题突破——冲刺高分
题型概述 “瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个新台阶？全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.
压轴热点一 函数的图象、性质及其应用
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
(2)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f ，b＝f，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A.alog24.1>2，1<20.8<2，因此log25>log24.1>20.8，
结合函数的单调性：f(log25)>f>f(20.8)，
所以a>b>c，即c0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为________.
解析 由圆的方程得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为C(0，1)，半径r＝1，
四边形PACB的面积S＝2S△PBC，因为四边形PACB的最小面积为2，所以S△PBC的最小值为1，而S△PBC＝r·PB，即PB的最小值为2，
此时PC最小为圆心到直线的距离，此时d＝＝＝，则k2＝4，因为k>0，所以k＝2.
答案 2
压轴热点三 函数与导数的综合应用
【例3】 (2017·郑州一模)已知a≥ cos θdθ，则曲线f(x)＝ax＋ln(ax－1)在点(2，f(2))处切线的斜率的最小值为________.
信息联想 信息①：由曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率联想导数的几何意义，表示出f′(2).
信息②：由a≥cos θdθ与要求的f′(2)最值，联想基本不等式或函数的单调性求最值.
解析 ∵cosθdθ＝sin θ＝，∴a≥×＝，
又f′(2)＝′
＝＝a＋.
当a≥时，2a－1>0.
∴f′(2)＝(2a－1)＋＋≥2＋＝.
当且仅当(2a－1)＝，即a＝时等号成立，
所以f′(2)的最小值为.
答案
探究提高 1.涉及导数的几何意义，一定分清是在点P(x0，y0)的切线，而不是过点P(x0，y0)的切线斜率；当点P不是切点时，首先要设法求出切点的坐标.
2.利用导数解不等式问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法、放缩法等.
【训练3】 (1)已知函数f(x)＝a－2ln x(a∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使f(x0)>g(x0)成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.(0，＋∞)
C.[0，＋∞) D.
(2)(2017·石家庄质检)函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝2且f(x)在R上的导数f′(x)满足f′(x)－3>0，则不等式f(log3x)<3log3x－1的解集为________.
解析 (1)由题意知，f(x)－g(x)>0在[1，e]上有解，即ax－2ln x>0，a>.
设y＝，则y′＝≥0，y在[1，e]上单调递增，
因此当x＝1时，＝0，所以a>0.
(2)设φ(x)＝f(x)－3x＋1，x∈R，
则φ′(x)＝f′(x)－3>0，φ(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f(1)＝2，知φ(1)＝f(1)－3×1＋1＝0，
又f(log3x)<3log3x－1，即f(log3x)－3log3x＋1<0.
∴φ(log3x)<φ(1)，得log3x<1，则00，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.
信息联想 (1)信息①：由条件中准线、焦点联想确定抛物线C的方程y2＝2px(p>0).
信息②：看到|AB|＝4，|DE|＝2，及点A，D的特殊位置，联想求A，D的坐标，利用点共圆，得p的方程.
(2)信息①：看到矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，想到双曲线的对称性，得AB⊥x轴，CD⊥x轴，且|AB|＝|CD|＝.
信息②：看到2|AB|＝3|BC|，想到由此构建关于a，b，c的方程，进而得关于的方程求e.
解析 (1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，
∵|AB|＝4，点A是圆与抛物线交点，由对称性设A(x1，2)，则x1＝＝.
又|DE|＝2，且点D是准线与圆的交点，
∴D且|OD|＝|OA|.
从而＋(2)2＝＋()2，解得p＝4.
因此C的焦点到准线的距离是4.
(2)由已知及双曲线的对称性得A，
所以|AB|＝，且|BC|＝2c，
又2|AB|＝3|BC|，所以2×＝3×2c，
整理得2b2＝2(c2－a2)＝3ac，
等号两端同除以a2得2(e2－1)＝3e，解得e＝2.
答案 (1)B (2)2
探究提高 1.涉及与圆锥曲线方程相关问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算.
2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a，b，c满足的等量关系(不等关系)，然后把b用a，c表示，求的值(范围).
【训练4】 (1)(2017·唐山一模)已知双曲线C：x2－＝1的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF＝( )
A. B. C. D.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，4)是抛物线C上一点，以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x＝－1截得的弦长为2，则|MF|＝________.
解析 (1)由双曲线C：x2－＝1，得a2＝1，b2＝3.
∴c＝＝2.
∴A(1，0)，F(2，0)，渐近线方程为y＝±x，
不妨设BF的方程为y＝(x－2)，
代入方程y＝－x，
解得：B(1，－).
∴S△AFB＝|AF|·|yB|＝·1·＝.
(2)由抛物线定义可得：|MF|＝x0＋，
因为以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x＝－1截得的弦长为2，所以7＋(x0＋1)2＝，
又16＝2px0，联立解得p＝4，x0＝2，故|MF|＝2＋＝4.
答案 (1)B (2)4
压轴热点五 不等式及基本不等式的应用
【例5】 设a>0，b>0.若的展开式中含x3项的系数为20，则＋的最小值为________.
信息联想 信息①：看到x3项的系数为20，联想二项展开式的通项公式.
信息②：看到求两变量的函数＋的最小值，联想到基本不等式.
解析 展开式的通项公式，Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－rbrx12－3r.令12－3r＝3，得r＝3.
故展开式中x3的系数Ca3b3＝20，则ab＝1.
则＋＝＝a＋b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时，上式等号成立，故＋的最小值为2.
答案 2
探究提高 1.解决条件最值的思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解；②对条件变形，进行“1”的代换求目标函数的最值.
2.有些题目不具备直接用基本不等式的条件时，可通过拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换等手段，使之能运用基本不等式进行求解.
【训练5】 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0的解集为( )
A.{x|x<－1或x>－ln 3} B.{x|x>－ln 3}
C.{x|－10的解集为，又f(ex)>0，得－10的解集为{x|x<－ln 3}.
答案 D