【数学】2020届数学文一轮复习第九章第9讲圆锥曲线中的范围、最值问题作业 6页

‎1．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是(　　)‎ A．(10，14)　　　　　　 B.(12，14)‎ C．(10，12) D．(9，11)‎ 解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)，‎ 由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，‎ 圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，‎ 可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，‎ 由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，‎ 即有xP∈(4，6)，‎ 可得6＋xP∈(10，12)，‎ 故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.‎ ‎2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为________．‎ 解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.‎ 答案：4‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(，－2)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围．‎ 解：(1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，‎ 即椭圆C的方程是＋＝1.‎ ‎(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，－2)，‎ ·＝－8.‎ 若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ 将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，‎ 因为0＜≤10，所以－8＜·≤2，‎ 所以·的取值范围是[－8，2]．‎ ‎4．设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．‎ 解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，‎ 由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．‎ 解：(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．‎ 又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，‎ 所以a2＝4，b2＝2，‎ 因此椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立方程 得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，‎ 由Δ>0得m2<4k2＋2.　(*)‎ 且x1＋x2＝－，‎ 因此y1＋y2＝，‎ 所以D，‎ 又N(0，－m)，‎ 所以|ND|2＝＋，‎ 整理得|ND|2＝，‎ 因为|NF|＝|m|，‎ 所以＝＝1＋.‎ 令t＝8k2＋3，t≥3.‎ 故2k2＋1＝，‎ 所以＝1＋＝1＋.‎ 令y＝t＋，所以y′＝1－.‎ 当t≥3时，y′>0，‎ 从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，‎ 因此t＋≥，‎ 等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，‎ 所以≤1＋3＝4，‎ 由(*)得－