【数学】2018届一轮复习人教A版命题及命题的否定教案 8页

‎2018年高考数学（理）一轮复习讲义：命题及命题的否定 一、考纲要求 ‎1. 了解命题的四种形式，会判断命题的真假，了解四种命题之间的真假关系，会由命题真假求参数范围；‎ ‎2. 理解充分条件、必要条件、充分必要条件，会对条件作出判断，会证明条件，能由条件求参数范围；‎ ‎3. 了解三种简单的逻辑联结词，会由真值表判断复合命题的真假，能由复合命题的真假求参数范围；‎ ‎4. 了解全称量词与存在量词，会判断含量词命题的真假，能写出含量词命题的否定。‎ 二、考题规律 命题的真假判断以及含量词命题的否定是高考常考考点，一般以填空题的形式考查，同时命题的真假证明也是高考中常考考点。命题可以与数学中的任何知识点相联系出题考查。 ‎ 三、考向预测 预计今年会以填空题的形式考查命题的真假判断以及含量词命题的否定，利用命题的真假求参数范围以及命题的证明也有可能考查！‎ 知识点一：命题 ‎（1）一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 ‎ ‎（2）从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成。在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”的形式。通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。‎ ‎（3）如果由命题的条件p通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题；如果由命题的条件p通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题。‎ 知识点二：四种命题及其关系 ‎（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。原命题为：“若，则”，则逆命题为：“若，则”。‎ ‎（2）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题。若原命题为：“若，则”，则否命题为：“若，则”。‎ ‎（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的 逆否命题。若原命题为：“若，则”，则逆否命题为：“若，则”。‎ 四种命题间的关系 ‎（4）四种命题间的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。‎ 知识点三：复合命题及其真假判断 ‎（1）p且q形式的命题：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”。当p、q都为真命题时，p∧q就为真命题；当p、q两个命题中只要有一个命题为假命题时，p∧q就为假命题。判断p∧q真假的真值表：‎ p q p∧q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 ‎（2）p或q形式的命题：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”。当p、q两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p∨q就为真命题；当p、q两个命题都为假命题时，p∨q才为假命题。由此可得判断p∨q真假的真值表：‎ p q p∨q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 ‎（3）“非p”形式的命题：对一个命题p的否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p的否定”。若p为真命题，则￢p为假命题；若p为假命题，则￢p为真命题。判断￢p真假的真值表：‎ p ‎￢p 真 假 假 真 ‎（4）复合命题 ‎“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；不含逻辑联结词的命题称为简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题称为复合命题。‎ 知识点四：含量词的命题及真假判断 ‎（1）全称命题：‎ ‎“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“”表示“对任意”；含有全称量词的命题，称为全称命题。将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），… 表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，可简记为xM，p（x）。读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。‎ ‎（2）存在性命题 ‎“有一个”、“有些” 、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“”表示“存在”；含有存在量词的命题，称为存在性命题。存在性命题“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”可利用符号简记为“x‎0M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，使p（x0）成立”。‎ 知识点五：含量词的命题的否定 ‎（1）含有一个量词的全称命题的否定 全称命题“xM，p（x）”的否定为“xM，（x）”；‎ ‎（2）含有一个量词的存在性命题的否定 存在性命题“xM，p（x）”的否定为“xM，（x）”。‎ ‎【随堂练习】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假。‎ ‎（1）命题：“存在一个函数f（x），使f（x）既是奇函数又是偶函数”是________命题（“全称”还是“存在性”命题），它的真假性为________。‎ ‎（2）命题：“对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解”是________命题（“全称”还是“存在性”命题），它的真假性为________。‎ 思路分析：借助全称命题、存在性命题的概念来判断含什么量词，同时利用函数、方程、直线与圆的位置关系等知识判断真假。‎ 答案：（1）是存在性命题，如f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，所以是真命题；（2）是全称命题，如2x2＋x＋1＝0，是假命题。‎ 例题1 下列四个命题中，假命题的序号为________。‎ ‎（1）存在四边相等的四边形不是正方形；‎ ‎（2）所有绝对值为正数的数都是非负数；‎ ‎（3）若R，且则至少有一个大于1；‎ ‎（4）对于任意，都是偶数。‎ 思路分析：对于命题（1），如菱形就是四边相等的不一定是正方形的四边形；对于命题（2），如的绝对值为3，是正数，但不是非负数，所以（2）为假命题；对于命题（3），假设都不大于1，则，与题设矛盾，所以（3）是真命题；对于命题（4），对于任意的，‎ 这三个自然数中至少有一个是偶数，所乘的积是偶数。‎ 答案：（2）‎ 点评：对含量词的命题的真假判断：存在性命题举一例子成立，说明是真命题，要说它是假命题需要能够证明；全称命题可通过举一反例说明是假命题，要说明是真命题，需要能够证明。‎ 例题2 已知命题p：方程a2x2＋2ax－3＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋‎2a≤0。若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围。‎ 思路分析：利用复合命题的真假得出构成它的两个命题的真假，由命题真假进而可得出a的不等式，然后求解。‎ 答案：解：由a2x2＋2ax－3＝0，得（ax＋3）（ax－1）＝0，‎ 显然a≠0，∴x＝－或x＝。‎ ‎∵x∈[－1，1]，故|－|≤1或||≤1，‎ ‎∴命题p为真命题时|a|≥1；‎ 只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋‎2a≤0，‎ 即抛物线y＝x2＋2ax＋‎2a与x轴只有一个交点， ‎ ‎∴Δ＝‎4a2－‎8a＝0，∴命题q为真命题时a＝0或a＝2。‎ ‎∵命题“p或q”为真命题，∴命题p、q至少有一个是真命题，‎ ‎∴a的取值范围为。‎ 点评：由“p或q”是真命题可得出p、q至少有一真，求出p、q为真时a的取值范围，然后求并集；若本题变为“p或q”是假命题，则由“p或q”是假命题得出p、q都是假命题，求出p、q为真时a的取值范围，对应补集的交集就是所求范围。‎ ‎【方法与技巧】‎ ‎1. 判断命题真假：（1）要说一个命题是真命题，要能够说明或推证；要说一个命题是假命题，只需要举一个反例。（2）有些命题的真假判断（或推证），可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。‎ ‎2. 写一个命题的否命题时，既要否定条件也要否定结论。‎ 一些常见词的否定：‎ 等于 大于 小于 是 都是 至多一个 至少有一个 任意的 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少两个 一个也没有 某个 ‎3. 通过证明逆否命题成立而间接达到证明原命题成立的这种方法是“反证法”的一种，这种方法利用“若，则若，则”，即欲证“若，则”为真，可由假设“非”来证明“非”，亦即假设结论不成立，通过逻辑推理导致与条件矛盾，从而间接得出“若，则”是真命题。‎ 要写一个命题的否定首先要搞清命题的形式，然后按照不同形式的否定写法写出相应的命题的否定。 ‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）‎ A. 所有被5整除的整数都不是奇数 B. 所有奇数都不能被5整除 C. 存在被5整除的整数不是奇数 D. 至少存在一个奇数，不能被5整除 ‎2. 已知命题p：函数y=loga（ax+‎2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（－1，1）；命题q：如果函数y=f（x－3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称。则 A. “p且q”为真 B. “p或q”为假 C. p真q假 D. p假q真 ‎*3. 设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A。若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是（ ）‎ A. 0‎2 ‎ B. 0cosx C. ∃x∈R使得x2＋x＝－1‎ D. ∀x∈（0，＋∞），ex>x＋1‎ 二、填空题 ‎6. 分别用“p或q”“p且q”“非p”填空。‎ ‎（1）命题“15能被3和5整除”是___________________形式；‎ ‎（2）命题“16的平方根是4或－‎4”‎是______________形式；‎ ‎（3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是___________________形式。‎ ‎7. 命题的否定是“对所有正数”，则命题是 。‎ ‎8. 已知下列四个命题：‎ ‎①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；‎ ‎④ab 是非正数。选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题____________________________________。‎ ‎**9. 给出以下四个关于圆锥曲线的命题，‎ ‎①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若＝（＋），则动点P的轨迹为椭圆；‎ ‎③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点。‎ 其中真命题的序号为______________（写出所有真命题的序号）。‎ 三、解答题 ‎10. 已知函数f（x）在R上为增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）”，写出逆命题、逆否命题，判断其真假，并证明你的结论。 ‎ ‎**11. 已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f（x）＝log（x2－2ax＋‎3a）是区间[1，＋∞）上的减函数。若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围。‎ ‎1. C 解析：全称命题的否定为特称命题。‎ ‎2. C 解析：解决本题的关键是判定p、q的真假。易知p真，q假（可举反例f（x）=x+3）。‎ ‎*3. C 解析：∵1∈A，∴－2－a<11，‎ ‎∵2∈A，∴－2－a<22，‎ ‎∵p∨q为真，p∧q为假，‎ ‎∴p与q一真一假，故10，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴f（x）>f（0）＝0，故对∀x∈（0，＋∞）都有ex>x＋1。‎ ‎6. （1）p且q （2）p或q （3）p且q ‎7. 存在 ‎8. 若a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数 解析：逆否命题为真命题，即该命题为真，a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数。‎ ‎**9. ③④‎ ‎ 解析：①表示双曲线的一支；②动点P的轨迹为圆；③两根x1＝2，x2＝正确；④＝正确。‎ ‎10. 解析：（1）逆命题是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0，真命题。 ‎ ‎ 用反证法证明：假设a+b<0，则a<－b，b<－a，∵f（x）在R上为增函数，则f（a）0恒成立 ‎∴a>＝－x在x∈[1，2]上恒成立 令g（x）＝－x，则g（x）在[1，2]上是减函数，‎ ‎∴g（x）max＝g（1）＝1，‎ ‎∴a>1。即若命题p真，则a>1。‎ 又∵函数f（x）＝log（x2－2ax＋3a）是区间[1，＋∞）上的减函数，‎ ‎∴u（x）＝x2－2ax＋‎3a是[1，＋∞）上的增函数，且u（x）＝x2－2ax＋‎3a>0在[1，＋∞）上恒成立，‎ ‎∴a≤1，u（1）>0，∴－1－1。‎