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- 2021-04-22 发布
包中2021届新高考全国卷第一次适应性考试
数 学
一、单项选择题：本题共8小题， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{(x，y)|x－y＋1＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝5}，则A∩B＝（ ）
A．{(1，2)} B．{(－2，－1)}
C．{(1，2)，(－2，－1)} D．Ø
2．已知a＋bi(a，b∈R)是(1＋i)2＋的共轭复数，则2a＋b＝（ ）
A．3 B．－3
C．－1 D．1
3．设向量＝(1，－1)，＝(k－1，2k＋2)，且，则k＝（ ）
A．－5 B．5
C．3 D．－3
4．温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高10 K，化学反应的反应速率大约增加2～4倍．瑞典科学家Arrhenius总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指数关系，并提出了相应的Arrhenius公式：
式中A为碰撞频率因子(A＞0)，e为自然对数的底数，Ea为活化能，R为气体常数．通过Arrhenius公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系．已知温度为T1时，化学反应的速率常数为k1；温度为T2时，化学反应的速率常数为k2．则
A． B．
C． D．
5．的展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为（ ）
A．405 B．－313
C．223 D．146
6．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则命题p：“V1，V2相等”是命题q：“S1，S2总相等”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在同一直角坐标系下，已知双曲线C：的离心率为，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．1
8．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数是圆O的一个太极函数
B．圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
C．函数是圆O的一个太极函数
D．函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件
10．已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜)的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图像关于点(，0)对称，则下列结论正确的是
A．函数f(x)的图像关于直线对称
B．当时，函数f(x)的最小值为－
C．若，则sin4α－cos4α的值为
D．要得到函数f(x)的图像，只需要将g(x)＝cos 2x的图像向右平移个单位
11．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则
A．三棱锥D－BEF的体积为6
B．直线PB与直线DF垂直
C．平面DEF截三棱锥P－ABC所得的截面面积为12
D．点P与点A到平面BDE的距离相等
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．则下列结论正确的是
A．当x＜0时，f(x)＝－ex(x＋1)
B．函数f(x)在R上有且仅有三个零点
C．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是f(－2)≤m≤f（2）
D．∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜2
三、填空题：
13．盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次．则取得小球标号最大值是3的取法有________种．（用数字作答）
14．已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．
15．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，P是抛物线在第一象限的一点，且点P到抛物线的对称轴和准线的距离相等，则点P的坐标为________；O为坐标原点，PQ⊥OP交抛物线的准线于点Q，则三角形OPQ内切圆的面积为________．
16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0，-3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L､S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均
与圆Q外切．已知直线l过点O ．
（1）若直线l与圆L､圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为________；
（2）若直线l截圆L､圆S､圆Q所得弦长均等于d，则d=________．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为．已知，，，，．
（1）求的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使得且？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
18．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
（1）求角C；
（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：的面积S=4且B>A；
条件②：．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．如图1，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，现沿对角线AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面体P－ABC，如图2所示．已知．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若Q是线段AP上的点，且，求二面角Q－BC－A的余弦值．
20．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，
(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
男
女
总计
网购迷
20
非网购迷
45
总计
100
（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为X，求X的数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
临界值表：
P(χ2≥x0)
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．如图所示，椭圆E：的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数，，，．
（1）设，求在上的最大值；
（2）设，若的极大值恒小于0，求证：．
包中2021届新高考全国卷第一次适应性考试答案
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．A
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．AC 10．BD 11．ACD 12．BD
三、填空题：
13．19
14．若a＞b，a＜0且b＜0，则＜．（或若＜，a＜0且b＜0，则a＞b．）
15．（4，2） （30－20）π
16．3，
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）设数列的为d，在数列中，
又因为，所以
从而，所以
由得：
因为，设数列的公比为
所以，所以
（2）由（1）知：
所以，整理得，解得
又因为
所以，即，解得
所以
18．解：（1）在中，由余弦定理知：，
所以，所以
又由正弦定理知：，得
所以
即：
所以
因为，所以，所以
又因为，所以
（2）若选择条件①
因为，所以
由余弦定理知：
所以
由，解得：或
因为，所以，所以，所以
在中
所以
若选择条件②：
因为，所以
又因为
由正弦定理知：，所以
在中，由余弦定理知：
解得：
19．在三棱锥P－ABC中，取AC的中点O，连接PO，BO得到PBO，
∵四边形ABCD是菱形，∴PA＝PC，PO⊥AC，又∵DC＝5，AC＝6，
∴OC＝3，PO＝OB＝4，又∵PB＝4，∴PO2＋OB2＝PB2，
∴PO⊥OB，又∵PO⊥OC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．
∵AB＝BC，O为AC中点，∴OB⊥OC，∴OB，OC，OP两两垂直，
∴以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，
则B（4，0，0），C（0，3，0），P（0，0，4），A（0，－3，0），
设点Q（x1，y1，z1），由，得Q（0，－2，），
∴＝（－4，3，0），，
设平面BCQ的法向量＝（x，y，z），
∴，即，解得，
不妨取z＝15，则＝（3，4，15），又∵PO⊥平面ABC，
∴＝（0，0，4）是平面ABC的一个法向量，
∴，
设二面角Q－BC－A的平面角为θ，
由图可知θ为锐角，∴cosθ＝，
∴二面角Q－BC－A的余弦值为
20．在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为（0.01＋0.02＋0.04）×5＝0.35，
后2个小矩形的面积之和为（0.04＋0.03）×5＝0.35，所以中位数位于区间（15，20]内，
设直方图的面积平分线为15＋x，则0.06x＝0.5－0.35＝0.15，得x＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为15＋2.5＝17.5（千元）
补全的2×2列联表如下：
男
女
总计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
总计
60
40
100
提出假设，
H0：网购迷与性别没有关系，
根据列联表中的数据，可以求得
，
因为当H0成立时，的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”，
方法一：由表可知，P（甲每次网购采用支付宝支付）＝，
P（乙每次网购采用支付宝支付）＝，
X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则
，
，
，
，
，
∴X的概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
∴X的数学期望
方法二：由表可知，P（甲每次网购采用支付宝支付）＝，
P（乙每次网购采用支付宝支付）＝，
设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为Y，Z，
由题意知Y～B（2，），Z～B（2，），
∴E（Y）＝2×＝1，E（Z）＝2×＝
又∵X＝Y＋Z，∴E（X）＝E（Y＋Z）＝E（Y）＋E（Z）＝，
∴X的数学期望为．
21．由题意知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b），
又∵点P的坐标为（0，1），，
∴，解得a＝2，b＝，
∴椭圆E的方程为，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，
A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立，
得（4k2＋1）x2＋8kx－4＝0，其判别式＝（8k）2＋16（4k2＋1）＞0，
∴，，
从而
，
∴当λ＝时，，
即为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时，.
综上所述，存在常数，使得为定值．
（1）由已知，，
当时，，当时，，
从而的单调递增区间是，单调递减区间是，
从而，.
22．于是
当时，，所以
当时，，所以；
综上所得.
（2）依题意，
则．
因为存在极大值，则关于的方程有两个不等的正根，，
不妨，则，则，且，
设列设表如下：
（0，）
+
0
-
0
+
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
从而，，
又，
从而对恒成立，
设，，
则，
所以在上递增，
从而，
所以，
，
设，则，
又，
若，；
若，；
从而．
即．