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- 2021-04-22 发布
2017-2018学年甘肃省临夏中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）数列2，4，8，16，32，…的通项公式an等于（ ）
A．2n+1 B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n
2．（4分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a1=3，a7=11，则S7等于（ ）
A．13 B．35 C．49 D．63
3．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（
A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°
4．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B=60°，且a=3，c=1，则b的值为（ ）
A． B．7 C． D．2
5．（4分）在等差数列{an}中，a5=15，则a2+a8的值为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．45
6．（4分）数列{an}满足an+1=1﹣，且a1=2，则a2017的值为（ ）
A． B．2 C．﹣1 D．1
7．（4分）设{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．2或4
8．（4分）为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基的俯角为45°，那么塔的高度是（ ）米．
A． B． C． D．30
9．（4分）在△ABC中，若bcosC+ccosB=asinA，则此三角形为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．（4分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5
，给出下列五个命题：
①公差d＜0
②S11＜0③S12＞0
④数列{Sn}中的最大项为S11
⑤|a6|＞|a7|
其中正确命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题4分，共16分）．
11．（4分）实数2和8的等比中项是 ．
12．（4分）已知等差数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣18x+15=0的两根，则a6的值是 ．
13．（4分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，B=C，则cosB= ．
14．（4分）数列{an}，{bn}满足anbn=1，an=（n+1）（n+2），则{bn}的前10项之和为 ．
三、解答题（本大题共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（10分）计算
（1）等差数列{an}中，已知a1=3，d=2，an=21，求n及Sn．
（2）等比数列{an}中，已知a2=18，a4=2，求a1及q．
16．（10分）如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，求AB的距离．
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，如果a、b、c，成等差数列，B=60°，△ABC的面积为，求b的值．
18．（12分）在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
2017-2018学年甘肃省临夏中学高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）数列2，4，8，16，32，…的通项公式an等于（ ）
A．2n+1 B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n
【分析】观察此数列是首项是2，且是公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求出此数列的通项公式即可．
【解答】解：由于数列2，4，8，16，32，…的第一项是2，且是公比为2的等比数列，
故通项公式是 an=2×qn﹣1=2n，故此数列的通项公式an=2n．
故选：D．
【点评】本题主要考查求等比数列的通项公式，求出公比q=2是解题的关键，属于基础题．
2．（4分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a1=3，a7=11，则S7等于（ ）
A．13 B．35 C．49 D．63
【分析】利用等差数列{an}的前n项和公式，由a1=3，a7=11，能求出S7=（a1+a7）．
【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=3，a7=11，
∴S7=（a1+a7）==49．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的前7项的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
3．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（
A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°
【分析】由已知及正弦定理可求得sinB==，由范围B∈（30°，180°）利用特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：∵c=2，b=2，C=30°，
∴由正弦定理可得：sinB===，
∵b＞c，可得：B∈（30°，180°），
∴B=60°或120°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．
4．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B=60°，且a=3，c=1，则b的值为（ ）
A． B．7 C． D．2
【分析】利用余弦定理，计算求解即可．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B=60°，且a=3，c=1，
由余弦定理可得：b===．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
5．（4分）在等差数列{an}中，a5=15，则a2+a8的值为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．45
【分析】运用等差数列中项的性质，可得a2+a8=2a5，计算即可得到所求值．
【解答】解：在等差数列{an}中，a5=15，
则a2+a8=2a5=2×15=30，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，考查运算能力，属于基础题．
6．（4分）数列{an}满足an+1=1﹣，且a1=2，则a2017的值为（ ）
A． B．2 C．﹣1 D．1
【分析】根据题意，由数列的递推公式可得数列的前4项，分析可得a5=a1，a6=a2，…，则数列{an}满足an+4=an，进而分析可得a2017=a1=2；即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}满足an+1=1﹣，且a1=2，
则a2=1﹣=1﹣=，
a3=1﹣=1﹣=﹣1，
a4=1﹣=1﹣=2，
则有a5=a1，a6=a2，…，
则数列{an}满足an+4=an，
a2017=a1=2；
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推公式，关键是分析数列各项变化的规律．
7．（4分）设{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．2或4
【分析】由已知中{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，根据等比数列的性质，可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=81，根据对数的运算性质，可将log3a1+log3a2+…+log3a10化为log3（a5a6）5的形式，进而再由对数的运算性质得到答案．
【解答】解：∵{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，
∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=81，
∴log3a1+log3a2+…+log3a10
=log3（a1•a2•…•a10）
=log3（a5a6）5
=5log3（a5a6）
=5log381
=5•4=20
故选C．
【点评】本题考查的知识点是对数的运算性质，等比数列的性质，其中根据等比数列的性质，将原式化为log3（a5a6）5的形式是解答本题的关键．
8．（4分）为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基的俯角为45°，那么塔的高度是（ ）米．
A． B． C． D．30
【分析】设塔为AB，楼顶C，作CD⊥AB，垂足是D．在直角三角形中，利用特殊角的三角函数可求
【解答】解：设塔为AB，楼顶C，过楼顶C作AB的垂线，垂足是D．
因为∠ACD=30度，CD=20m，所以AD=，因为∠BCD=45度，所以BD=CD=20m．
所以塔高为m．
故选A．
【点评】本题主要考查学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
9．（4分）在△ABC中，若bcosC+ccosB=asinA，则此三角形为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式整理后，求出sinA的值，进而求出A的度数，判断三角形形状即可．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sin2A，
整理得：sin（B+C）=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，
∴sinA=1，即A=，
则此三角形为直角三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
10．（4分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：
①公差d＜0
②S11＜0③S12＞0
④数列{Sn}中的最大项为S11
⑤|a6|＞|a7|
其中正确命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定．
【解答】解：∵等差数列{an}中，S6最大，且S6＞S7＞S5，
∴a1＞0，d＜0，①正确；
∵S6＞S7＞S5，
∴a6＞0，a7＜0，∴a1+6d＜0，a1+5d＞0，S6最大，
∴④不正确；
S11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0，
S12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7）＞0，
∴②⑤正确，③错误
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值、等差数列的通项公式、前n和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
二、填空题（每小题4分，共16分）．
11．（4分）实数2和8的等比中项是 ±4 ．
【分析】由a，b，c成等比数列，可得等比中项c=±，计算即可得到所求值．
【解答】解：由a，b，c成等比数列，可得等比中项c=±，
则实数2和8的等比中项是±=±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查等比数列的中项的定义和求法，考查运算能力，属于基础题．
12．（4分）已知等差数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣18x+15=0的两根，则a6的值是 3 ．
【分析】由一元二次方程的根与系数关系求得a3+a9=6，然后由等差数列的性质得答案．
【解答】解：在等差数列{an}中，
∵a3，a9是方程3x2﹣18x+15=0的两根，
∴a3+a9=6，
由等差数列的性质得：2a6=6，即a6=3．
故答案为：3
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了一元二次方程的根与系数关系，是基础题．
13．（4分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，B=C，则cosB= ．
【分析】直接根据等腰三角形的性质和余弦定理求出结果．
【解答】解：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，B=C，
则：，
则：cosB=．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用及相关的运算问题．
14．（4分）数列{an}，{bn}满足anbn=1，an=（n+1）（n+2），则{bn}的前10项之和为 ．
【分析】由anbn=1，an=（n+1）（n+2），知，再由裂项求和法能求出{bn}的前10项之和．
【解答】解：∵anbn=1，an=（n+1）（n+2），
∴，
∴{bn}的前10项之和S10=（）+（）+（）+…+（）=．
故答案为：．
【点评】本题考查数列求和的应用，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
三、解答题（本大题共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（10分）计算
（1）等差数列{an}中，已知a1=3，d=2，an=21，求n及Sn．
（2）等比数列{an}中，已知a2=18，a4=2，求a1及q．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：（1）an=21=3+2（n﹣1），解得n=10，
S10==120．
（2）∵a2=18，a4=2，
∴a1q=18，=2，
联立解得：．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（10分）如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，求AB的距离．
【分析】根据题中条件，在△CDB中由正弦定理求得CB，在△ADC中由正弦定理求得AC，最后△ABC中由余弦定理求得AB．
【解答】解：在△CDB中，∵∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，∴∠CBD=45°
由正弦定理得：，∴CB=40．
同理，在△ADC中，可得，∠CAD=45°
由正弦定理得：，∴AC=20
在△ABC中，有余弦定理得：AB==20，
即A、B两点间的距离为20．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理在实际中的应用．由于图象中三角形比较多，应分清在哪个三角形中利用正弦定理和余弦定理．
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，如果a、b、c，成等差数列，B=60°，△ABC的面积为，求b的值．
【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2
﹣2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b2﹣2ac．代入余弦定理求得b的值．
【解答】解：∵a、b、c成等差数列，
∴2b=a+c．…（2分）
平方得a2+c2=4b2﹣2ac．…（4分）
又△ABC的面积为，且B=60°，
故由S△ABC=acsin B …（6分）
=acsin60°=ac=，得ac=2．…（8分）
∴a2+c2=4b2﹣4．
由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得b2=4b2﹣6．…（10分）
解得b2=2．
又b＞0，∴b=．…（12分）
【点评】本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识，属于基础题．
18．（12分）在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，转化求解数列的通项公式即可．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．
【解答】解：（1）∵，∴a1=S1=1…（2分）
…（4分）
a1=S1
∵当n=1时，通项公式也成立．
∴an=2n﹣1…（5分）
（2）∵an=2n﹣1，
∴bn===（）．…（9分）
∴数列{bn}的前n项和Sn==…（12分）
【点评】本题考查数列的通项公式以及数列求和的方法门课程转化思想以及计算能力．