2019届二轮复习（理）第十二章选考部分第74讲课件（40张）（全国通用） 40页

第 74 讲　坐标系与参数方程 考试要求　 1. 坐标系的有关概念 (A 级要求 ) ，极坐标及方程的互化，参数方程和普通方程的互化 (B 级要求 ) ； 2. 高考中对本讲的考查以解答题为主，难度中等 . 预计高考中以极坐标、参数方程化为普通方程为主，注重基本运算及极坐标、参数方程的运用 . 诊 断 自 测 ∴ 过点 (0 ， 2) 且与 x 轴平行的直线方程为 y ＝ 2. 即为 ρ sin θ ＝ 2. 3. 在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ ＝ 4sin θ 和直线 ρ sin θ ＝ a 相交于 A ， B 两点 . 当 △ AOB 是等边三角形时，求 a 的值 . 解　 由 ρ ＝ 4sin θ 可得 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 y ，即 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4. 由 ρ sin θ ＝ a 可得 y ＝ a . 设圆 的圆心为 O ′ ， y ＝ a 与 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 的两交点 A ， B 与 O 构成等边三角形，如图所示 . 由对称性知 ∠ O ′ OB ＝ 30° ， OD ＝ a . 解　 将抛物线的参数方程化为普通方程为 y 2 ＝ 4 x ，则焦点 F (1 ， 0) ，准线方程为 x ＝－ 1 ，又 P (3 ， m ) 在抛物线上，由抛物线的定义知 PF ＝ 3 － ( － 1) ＝ 4. 1. 平面直角坐标系 知 识 梳 理 2. 极坐标系 (1) 极坐标与极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O ，自点 O 引一条射线 Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 ( 通常取逆时针方向为正方向 ) ，这样就建立了一个极坐标系 . 点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴 . 平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 θ 来刻画 ( 如图所示 ). 这两个数组成的有序数对 ( ρ ， θ ) 称为点 M 的极坐标 . ρ 称为点 M 的 __ __ __ ， θ 称为点 M 的 ___ __ _ . 由极径的意义可知 ρ ≥ 0. 当极角 θ 的取值范围是 [0 ， 2π) 时，平面上的点 ( 除去极点 ) 就与极坐标 ( ρ ， θ ) ( ρ ≠0 ) 建立 一一对应的关系 . 我们设定，极点的极坐标中，极径 ρ ＝ 0 ， 极 角 θ 可取任意角 . 极径 极 角 (2) 极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为 ( x ， y ) ，极坐标为 ( ρ ， θ ). 由图可知下面关系式成立： 3. 常见曲线的极坐标方程 ρ ＝ r (0 ≤ θ <2π) 2 r cos θ ρ ＝ 2 r sin θ (0 ≤ θ <π) ρ sin θ ＝ a (0< θ <π) 4. 参数方程和普通方程的互化 通过消去参数 5. 常见曲线的参数方程和普通方程 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 考点一　极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化 【例 1 － 1 】 (1) 以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段 y ＝ 1 － x (0 ≤ x ≤ 1) 的极坐标方程； (2) 在极坐标系中，曲线 C 1 和 C 2 的方程分别为 ρ sin 2 θ ＝ cos θ 和 ρ sin θ ＝ 1. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线 C 1 和 C 2 交点的直角坐标 . ∴ y ＝ 1 － x 化成极坐标方程为 ρ cos θ ＋ ρ sin θ ＝ 1 ， ∵ 0 ≤ x ≤ 1 ， ∴ 线段在第一象限内 ( 含端点 ) ， 规律方法　 (1) 极坐标与直角坐标互化的前提条件： ① 极点与原点重合； ② 极轴与 x 轴的正半轴重合； ③ 取相同的单位长度 . (2) 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式 x ＝ ρ cos θ 及 y ＝ ρ sin θ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρ cos θ ， ρ sin θ ， ρ 2 的形式，进行整体代换 . 【例 1 － 2 】 (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 ( x ＋ 6) 2 ＋ y 2 ＝ 25. ( 1) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； 解 　 (1) 由 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ 可得圆 C 的极坐标方程 ρ 2 ＋ 12 ρ cos θ ＋ 11 ＝ 0. (2) 在 (1) 中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ ＝ α ( ρ ∈ R ). 设 A ， B 所对应的极径分别为 ρ 1 ， ρ 2 ，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ 2 ＋ 12 ρ cos α ＋ 11 ＝ 0. 于是 ρ 1 ＋ ρ 2 ＝－ 12cos α ， ρ 1 ρ 2 ＝ 11. 规律方法 　消去参数的方法一般有三种 (1) 利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2) 利用三角恒等式消去参数； (3) 根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数 . 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f ( t ) 和 g ( t ) 的值域，即 x 和 y 的取值范围 . 考点二　求曲线的极坐标方程 (1) 把圆 O 1 和圆 O 2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 . 解 　 (1) ρ ＝ 2 ⇒ ρ 2 ＝ 4 ，所以 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 ； (2) 将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 x ＋ y ＝ 1. 化为极坐标方程为 ρ cos θ ＋ ρ sin θ ＝ 1 ， 规律方法 　 求曲线的极坐标方程的步骤 (1) 建立适当的极坐标系，设 P ( ρ ， θ ) 是曲线上任意一点 . (2) 由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式 . (3) 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 . 令 θ ＝ 0 ，得 ρ ＝ 1 ， 所以圆 C 的圆心坐标为 (1 ， 0). 考点三　极坐标方程、参数方程的应用 解 　圆 C 的普通方程为 ( x － m ) 2 ＋ y 2 ＝ 4. 规律方法　 (1) 已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程 . (2) 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性 . (1) 求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2) 若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 . 解　 (1) 直线 l 的普通方程为 2 x － y － 2 a ＝ 0 ， 圆 C 的普通方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 16. (2) 因为直线 l 与圆 C 有公共点， 考点四　极坐标方程和参数方程的综合应用 解 　 法一 　直线 l 的参数方程化为普通方程得 4 x － 3 y ＝ 4 ， 将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y 2 ＝ 4 x . 法二 　将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y 2 ＝ 4 x . (1) 求圆心的极坐标； (2) 求 △ PAB 面积的最大值 . 解　 (1) 由圆 C 的极坐标方程为