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- 2021-04-22 发布
1. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【考点】合情推理
【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。
2. 【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
【答案】1和3
【解析】
试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.
考点： 逻辑推理.
【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.
3. 【2015高考北京，理20】已知数列满足：，，且．
记集合．
（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8
（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，
①若中有3的倍数，由（2）知：所有的都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.
②中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，......
,不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多8项，则时，，项数为8，所以集合的元素个数的最大值为8.
考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.
【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
合情推理与演绎推理
B
分析法与综合法
A
反证法
A
数学归纳法的原理
A
数学归纳法的简单应用
B
合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．
解决此类问题的注意事项与常用方法：
(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．
(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．
高考对直接证明与间接证明主要以导数及其应用、不等式为载体进行考查，考查基本方法，体会数学证明的思想过程及其特点，提升分析、解决问题的能力。
数学归纳法的考查以解答题为主，一般会与数列、不等式证明等内容相结合，考查分析及推理论证能力，试题难度较大。
1．合情推理
(1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征
和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
②特点：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．直接证明
(1)综合法
①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：―→―→―→…―→
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：―→―→―→…―→
(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
4．间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
5．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N )时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝ ( ≥n0， ∈N )时命题成立，证明当n＝ ＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
题型一 合情推理与演绎推理
典例1 (2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )
A．21 B．34 C．52 D．55
【答案】 D
解题技巧与方法总结
归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
【变式训练】观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…
据此规律，第n个等式可为_________________________________________________________
_______________．
【答案】＋＋…＋.
【解析】 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－
；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.
典例2 (1)(2017·西安月考)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||＋||＝0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．
(2)求 的值时，采用了如下方法：令 ＝x，则有x＝，解得x＝(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋的值为________．
【答案】 (1)VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0
(2)
解题技巧与方法总结
(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
【变式训练】在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．
【答案】 ＋＋＋＝1
【解析】 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.
典例3 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N ，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
【答案】见解析
解题技巧与方法总结
演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
【变式训练】(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
(2)(2016·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
【答案】 (1)C (2)B
题型二 直接证明与间接证明
典例4(2016·重庆模拟)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
【答案】见解析
【解析】证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
解题技巧与方法总结
(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
【变式训练】 对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；
(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数．
【答案】见解析
典例5已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.
【答案】见解析
【证明】 要证[f(x1)＋f(x2)]>f，
即证明(tan x1＋tan x2)>tan ，
只需证明>tan ，
只需证明>.
由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．
所以cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，
故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，
即证1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，
即证cos(x1－x2)<1.
由x1，x2∈，x1≠x2知上式显然成立，
因此[f(x1)＋f(x2)]>f.
引申探究
若本例中f(x)变为f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.
【答案】见解析
解题技巧与方法总结
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
【变式训练】(2017·重庆月考)设a>0，b>0,2c>a＋b，求证：
(1)c2>ab；
(2)c－ 0，b>0,2c>a＋b≥2，
∴c>，平方得c2>ab.
(2)要证c－ 0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明>c.
【答案】见解析
题型三 数学归纳法
典例7在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N ，λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an }的通项公式，并加以证明．
【答案】见解析
【解析】 (1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.
(2)由(1)可猜想数列通项公式为：
an＝(n－1)λn＋2n.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，
②假设当n＝ ( ≥4， ∈N )时等式成立，
即a ＝( －1)λ ＋2 ，
那么当n＝ ＋1时，
a ＋1＝λa ＋λ ＋1＋(2－λ)2
＝λ( －1)λ ＋λ2 ＋λ ＋1＋2 ＋1－λ2
＝( －1)λ ＋1＋λ ＋1＋2 ＋1
＝[( ＋1)－1]λ ＋1＋2 ＋1，
所以当n＝ ＋1时，a ＋1＝[( ＋1)－1]λ ＋1＋2 ＋1，猜想成立，
由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N ，λ>0)．
解题技巧与方法总结
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．
【变式训练】 (2016·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N ，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N )，证明：对任意的n∈N ，不等式··…·>成立．
【答案】见解析
(2)证明 由(1)及b＝2知an＝2n－1.
因此bn＝2n(n∈N )，
所证不等式为··…·>.
①当n＝1时，左式＝，右式＝，
左式>右式，所以结论成立．
②假设n＝ ( ≥1， ∈N )时结论成立，
即··…·>，
则当n＝ ＋1时，
··…··>·＝，
要证当n＝ ＋1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由基本不等式得＝≥成立，
故≥成立，
所以当n＝ ＋1时，结论成立．
由①②可知，当n∈N 时，不等式··…·>成立．
1．（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016-2017学年高二下学期期末）2．用数学归纳法证明 (n∈N且>1)，第二步证明中从“ 到 +1”时，左端增加的项数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．（河北省张家口市2016-2017学年高二下学期期末）给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1
|≥1．以下结论正确的是（）
A. ①和②的假设都错误 B. ①和②的假设都正确
C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确
【答案】D
3．（河北省张家口市2016-2017学年高二下学期期末）命题“有理数是无限不循环小数，整数是有理数，所以整数是无限不循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）
A. 使用了归纳推理 B. 使用了类比推理
C. 使用了“三段论”，但大前提错误 D. 使用了“三段论”，但小前提错误
【答案】C
【解析】大前提是特称命题，而小前提是全称命题，有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，大前提是错误的，所以得到的结论是错误的，所以在以上三段论推理中，大前提错误，故选C.
4. （江西省抚州市金溪一中等七校2016-2017学年高二下学期期末）用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于当时，等式左端，因此当时，等式左端，增加了项．应选答案D。
5. （山东省菏泽市2016--2017学年高二下学期期末）推理过程：“因为无理数是无限小数，是无限小数，所以是无理数”，以下说法正确的是（ ）
A. 完全归纳推理，结论证确 B. 三段论推理，结论正确
C. 传递性关系推理，结论正确 D. 大前提正确，推出的结论错误
【答案】D
6. （湖北省荆州中学2018届高三第二次月考）名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是 ( )
A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丁 D. 甲、丁
【答案】B
【解析】
甲
乙
丙
丁
甲
√
√
√
乙
√
丙
√
√
丁
√
√
√
由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙，选B.
7.
（江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 ( )
A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论前，合情推理常常能证明提供思路和方向，.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确，而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.
8. （内蒙古太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期末）下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )
A. 某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
B. 两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
C. 由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D. 在数列{an}中，a1＝1，an＝ (an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公
【答案】B
【解析】演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．
A选项“高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人”是归纳推理；故错；
B选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠
B=180°”，故正确；
C选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理；故错；
D选项“在数列 中， ， ，通过计算 由此归纳出{an}的通项公式”是归纳推理．故错．
综上得，B选项正确
故选B．
9、（山东师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中）从下列等式中归纳出一个一般性的结论．
；
；
________________________________ .
【答案】
【解析】观察等式，我们可以推断：
10、（江西省抚州市金溪一中等七校2016-2017学年高二下学期期末）已知空间整数点的序列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ,,,…，则是这个序列中的第____________个.
【答案】
点睛：解答本题的关键是搞清题设中数组的规律，然后依据规律做出正确的推理和判断。求解时，先观察出数组的规律是：三个数字和相等的先看最小数字，再看第二小的数字；相同数字组成的点，先看最小数字排的位置，再看第二小的数字排的位置。然后做出推断：三个数字和为的1个，三个数字和为的3个，三个数字之和为6的是3+6+1=10个，三个数字和为7，由组成的共3个，由
三个数字组成的共6个，进而得出是第29个。