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- 2021-04-22 发布
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许昌高中22届高一年级10月第一次月考
数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=，B=，则
A. AB= B. AB
C. AB D. AB=R
【答案】A
【解析】
由得，所以，选A．
点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
2.下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为A项是奇函数，故错，C，D两项项是偶函数，但在上是减函数，故错，只有B项既满足是偶函数，又满足在区间上是增函数，故选B．
考点：函数的奇偶性，单调性．
3.已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令，即可求出，由即可求出
【详解】令，得，所以，故选A。
【点睛】本题主要考查赋值法的应用。
4.已知为奇函数，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用可算出,再根据即可算得.
【详解】由得,故,所以
故选：A.
【点睛】本题主要考查奇函数的性质.
5. 50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的人数是（ ）
A. 35 B. 25 C. 28 D. 15
【答案】B
【解析】
试题分析：全班分4类人：
设两项测验成绩都及格的人数为x人；
由跳远及格40人，可得仅跳远及格的人数为40-x人；
由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31-x人；
2项测验成绩均不及格的有4人
∴40-x+31-x+x+4=50，
∴x=25
考点：集合中元素个数的最值
6.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先将转换为同为2为底的指数，，可以转换为指数相同。所以。
【详解】因为，，所以，故选A．
【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目。
7.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出当时的值域,再取并集即可.
【详解】当时,,故.
当时,,故的值域为.
故选：D.
【点睛】分段函数的值域只需每段函数单独求解值域再求并集即可.
8.已知函数为偶函数且在单调递减，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．
【详解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
则ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b，
即-（b-a）=b-a，
得b-a=0，得b=a，
则f（x）=ax2-a=a（x2-1），
若f（x）在（0，+∞）单调递减，
则a＜0，
由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0，
得x＞4或x＜2，
即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞），
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．
9.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. (0，] B. (0，) C. [0，] D. [0，)
【答案】D
【解析】
【详解】解：因为y＝的定义域为R，
所以
选D.
10.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
恒成立问题参变分离化简成,再计算在的最小值即可.
【详解】由对任意,都有成立,参变分离有,
又在上单调递减,故,故.
故选：A.
【点睛】关于恒成立的问题,先参变分离,再根据题意分析求函数部分的最值即可.
11.已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 是减函数 D. 是增函数
【答案】D
【解析】
【分析】
由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.
【详解】由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，
.
当时，由于函数和函数在上都为增函数，
此时，函数在上为增函数；
当时，在上为增函数；
当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，
，所以，函数在上为增函数.
综上所述：函数在区间上为增函数，故选：D.
【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
12.设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数的图象，结合图象可得不等关系，进而可得解.
【详解】当时，函数 是减函数，则 ．
作出的大致图象如图所示，
结合图象可知，要使，则需 或，所以，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分段函数的作图及应用分段函数的性质解不等式，属于基础题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根号中,求解二次不等式即可.
【详解】由题,故.即
故答案为：
【点睛】本题主要考查：定义域根号下大于等于0,二次不等式解法.
14.若，则 ．
【答案】
【解析】
【详解】∵，∴，∴.
考点：对数的计算
此处有视频，请去附件查看】
15.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售辆，则能获得的最大利润为________万元.
【答案】120
【解析】
分析】
设在甲地销售量,则在乙地销售为,再列出利润函数求最大值即可.
【详解】设在甲地销售量,则在乙地销售,
则利润为
因为二次函数对称轴为,故当时均取得最大值.
故答案为：120
【点睛】本题主要考查方程的思想以及二次函数的最值问题.
16.已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
由题意，可作出函数图像如下：
由图象可知, 解之得
故填
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合，.
（1）若，求;
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】
(1)直接根据集合的运算法则进行计算即可.
(2)分与时分别讨论,注意时列出区间端点满足的关系.
【详解】（1）当时,,,
∴.
（2）当时,有,解,满足.
当或,解得.
综上,或.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算.注意时讨论的情况.
18.已知满足，且，求函数的最大值和最小值.
【答案】；
【解析】
【分析】
由满足,且求出的取值范围,再换元化简成二次函数进行最值的求解即可.
【详解】∵是增函数,即,
∴,∴.
又∵在上是增函数,即,
∴,∴,综上可知.
又,令,则,
∴当时,；当时,.
【点睛】本题主要考查指数不等式的解法以及复合二次函数的最值问题.
19.某汽配厂生产某种零件，每个零件的出厂单价为60元，为了鼓励更多销售商订购，该厂决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不低于51元．
当一次订购量最少为多少时，零件的实际出厂单价恰好为51元？
设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数的表达式．
【答案】（1）当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P=51，则当100＜x＜550时，得到P为分段函数，写出解析式即可.
【详解】设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
当时，
当时，
当时，
所以．
【点睛】本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．
20.已知函数.
（1）若是R上的奇函数，求实数的值，并写出函数的单调区间；
（2）若，求函数在区间上的最大值.
【答案】（1），的单调递增区间为，无单调递减区间（2）
【解析】
【分析】
(1)已知函数为奇函数,可直接令算出参数的值再求单调性即可.
(2)由中包含绝对值,故讨论绝对值中的正负从而去绝对值,写成分段函数再画图分析即可.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数,所以,
即.
∴,∴.
∴的单调递增区间为,无单调递减区间.
（2）若,则.
画出的图象如图
当时,若：
若：得.
当时,；
当时,；
当时,.
综上,.
【点睛】本题主要考查分段函数的运用,去绝对值的方法以及利用数形结合的思想与分类讨论的思想等.属于中等难度题型.
21.函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.
（1）求的值；
（2）判断单调性并证明；
（3）若，解不等式.
【答案】（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】
(1)令代入即可.
(2)证明单调性一般思路是取,且再计算,故考虑取
,代入,再利用当时,总有即可算得的正负,即可证明单调性.
(3)利用将3写成的形式,再利用前两问的结论进行不等式的求解即可.
【详解】(1)令,得,∴.
(2)是上的增函数,证明：任取,且,则,∴,∴,
即,
∴是上的增函数.
(3)由及,可得,结合（2）知不等式
等价于,可得,解得.所以原不等式的解集为.
【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算，若，则为增函数；若，则为减函数。计算化简到最后需要判断每项的正负，从而判断的正负。
(2)利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,
若在区间上是增函数,则,并注意定义域.
若在区间上减函数,则,并注意定义域.
22.已知为常数，，且，方程有两个相等的实数根.
（1）求的解析式.
（2）是否存在实数，使在区间上的值域是？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在，，，详见解析
【解析】
【分析】
(1)利用,可代入方程得一组关于的方程,再根据方程有两个相等的实数根易得二次函数判别式为0即可算出.
(2)易得对称轴为直线,故讨论区间与对称轴的位置关系,分,,三种情况进行讨论.
【详解】（1）由,方程有两个相等的实数根,所以即判别式为0,得,解得.
∴.
（2）由（1）知函数图像的对称轴为直线,
当时,在上单调递减,
∴,即,无解.
当时,在上单调递增,
∴,即,解得.
当时,,即,不符合题意.
综上,,.
【点睛】本题主要考查分类讨论的思想,二次函数的问题一般是根据区间端点与对称轴的位置关系进行讨论.