2018届二轮复习点直线平面之间的位置关系课件（全国通用） 121页

第二讲 　 点、直线、平面之间的位置关系　 【 知识回顾 】 1. 平行公理 若 a∥b,b∥c , 则 a∥c . 定理 符号表示 图形表示 线面平 行的判 定定理 ________________ 线面平 行的性 质定理 ________________ 2. 线面平行与垂直的判定与性质 定理 符号表示 图形表示 线面垂 直的判 定定理 _______________ 线面垂 直的性 质定理 _____________ 3. 面面平行与垂直的判定与性质 定理 符号表示 图形表示 面面垂 直的判 定定理 ______________ 面面垂 直的性 质定理 ______________ 定理 符号表示 图形表示 面面平 行的判 定定理 ______________ 面面平 行的性 质定理 ______________ 【 易错提醒 】 1. 忽略判定定理和性质定理中的条件致误 : 应用线面平行判定定理时 , 忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件 ; 应用线面垂直及面面平行的判定定理时 , 忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件 ; 应用面面垂直的性质定理时忽略“直线在平面内”“直线垂直于两平面的交线”的条件等 . 2. 把平面几何中的相关结论推广到空间直接利用而致误 : 如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行 , 这个结论在空间中不成立 . 3. 不能准确掌握判定定理和性质定理致误 : 如线面平行的性质定理中是过与平面平行的直线的平面与该平面的交线与已知直线平行 , 而非作出的直线 ; 面面平行的性质定理中平行的两条直线一定是第三个平面与两平行平面的交线等 . 【 考题回访 】 1.(2016· 山东高考 ) 已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内 , 则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 A. 若“直线 a 和直线 b 相交” , 则它们一定有公共点 , 而又直线 a,b 分别在两个不同的平面 α , β 内 , 所以平面 α , β 一定存在公共点 , 所以“平面 α 和平面 β 相交” ; 反过来 , “ 平面 α 和平面 β 相交” , 而“直线 a 和直线 b 也可能平行或异面” , 所以是充分不必要条件 . 2.(2016· 全国卷 Ⅰ) 平面 α 过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A,α ∥ 平面 CB 1 D 1 ,α∩ 平面 ABCD= m,α ∩ 平面 ABB 1 A 1 =n, 则 m,n 所成角的正弦值为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 如图所示 : 因为 α∥ 平面 CB 1 D 1 , 所以若设平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 ABCD=m 1 , 则 m 1 ∥m. 又因为平面 ABCD∥ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 , 结合平面 B 1 D 1 C∩ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 =B 1 D 1 , 所以 B 1 D 1 ∥m 1 , 故 B 1 D 1 ∥m. 同理可得 :CD 1 ∥n. 故 m,n 所成角的大小与 B 1 D 1 ,CD 1 所成角的大小相等 , 即 ∠ CD 1 B 1 的大小 . 而 B 1 C=B 1 D 1 =CD 1 ( 均为面对角线 ), 因此∠ CD 1 B 1 = , 即 sin∠CD 1 B 1 = . 3.(2013· 全国卷 Ⅱ) 已知 m,n 为异面直线 ,m⊥ 平面 α, n⊥ 平面 β, 直线 l 满足 l ⊥m, l ⊥n, l ⊄α, l ⊄β , 则 ( 　　 ) A.α∥β 且 l ∥α B.α⊥β 且 l ⊥β C.α 与 β 相交 , 且交线垂直于 l D.α 与 β 相交 , 且交线平行于 l 【 解析 】 选 D. 若 α∥β , 则 m ∥ n , 这与 m,n 为异面直线矛盾 , 所以 A 不正确 . 将已知条件转化到正方体中 , 易知 α 与 β 不一定垂直 , 但 α 与 β 的交线一定平行于 l , 从而排除 B,C. 4.(2016· 全国卷 Ⅱ) α,β 是两个平面 , m,n 是两条直线 , 有下列四个命题 : ① 如果 m⊥n,m⊥α,n∥β , 那么 α⊥β , ② 如果 m⊥α,n∥α , 那么 m⊥n ; ③ 如果 α∥β,m⊂α , 那么 m∥β ; ④ 如果 m∥n,α∥β , 那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 . 其中正确的命题有 __________.( 填写所有正确命题的编号 ) 【 解题指南 】 借助正方体模型分析、论证 . 【 解析 】 对于① , AA ′ (m ) ⊥ 平面 ABCD( α ),AA ′ (m ) ⊥ AD(n),AD(n ) ∥ 平面 A ′ B ′ C ′ D ′ ( β ), 显然平面 ABCD(α )∥ 平面 A′B′C′D′(β ), 故①错误 ; 对于② , n∥α , 由线面平行的性质定理 , 可知 n 与 α 内的 一条直线 l 平行 , 因为 m⊥α , 所以 m⊥ l , 所以 m⊥n , 故② 正确 ; 对于③ , 设过 m 的平面 γ 交 β 于直线 l , 因为 α∥β,m⊂α , 由面面平行的性质定理可 知 m∥ l , 由线面平行的判定定理 , 可知 m∥β , 故③正确 ; 对于④ , 若 m,n 分别与平面 α,β 平行 ( 或垂直 ), 结论显然成立 , 若 m,n 分别与平面 α,β 不平行 , 也不垂直 , 可以分别作出 m,n 在平面 α,β 内的射影 , 由等角定理 , 可知结论也成立 , 故④正确 . 答案 : ②③④ 热点考向一 　判断与点、线、面位置关系有关命题的真假 命题解读 : 主要考查利用空间点、直线、平面位置关系的定义 , 四个公理、八个定理来判断与点、线、面有关命题的真假 , 以选择题、填空题的形式出现 . 【 典例 1】 (1)(2016· 洛阳二模 ) 若 m,n 为两条不重合的直线 , α,β 为两个不重合的平面 , 则下列命题中正确的是　 ( 　　 ) ① 若直线 m,n 都平行于平面 α, 则 m,n 一定不是相交直线 ; ② 若直线 m,n 都垂直于平面 α, 则 m,n 一定是平行直线 ; ③ 已知平面 α,β 互相垂直 , 且直线 m,n 也互相垂直 , 若 m⊥α , 则 n⊥β ; ④ 若直线 m,n 在平面 α 内的射影互相垂直 , 则 m⊥n . A.② B.②③ C.①③ D.②④ (2)(2016· 武汉一模 ) 如图 ,AB 是☉ O 的直径 ,VA 垂直于☉ O 所在的平面 ,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点 ,M,N 分别为 VA,VC 的中点 , 则下列结论正确的是　 ( 　　 ) A.MN∥AB B.MN 与 BC 所成的角为 45° C.OC⊥ 平面 VAC D. 平面 VAC⊥ 平面 VBC 【 解题导引 】 (1) 根据空间线线、线面、面面平行、垂直的判定与性质逐个进行判断 , 并充分利用正方体或长方体模型帮助求解 . (2) 根据条件逐项验证 . 【 规范解答 】 (1) 选 A. 对于① ,m 与 n 可能平行 , 可能相交 , 也可能异面 ; 对于② , 由线面垂直的性质定理可知 , m 与 n 一定平行 , 故②正确 ; 对于③ , 还有可能 n∥β 或 n⊂β ; 对于④ , 把 m,n 放入正方体中 , 如图 , 取 A 1 B 为 m,B 1 C 为 n, 平面 ABCD 为平面 α, 则 m 与 n 在 α 内的射影分别为 AB 与 BC, 且 AB⊥BC, 而 m 与 n 所成的角为 60°, 故④错 . 因此选 A. (2) 选 D. 对于 A, 若 MN∥AB, 由已知 MN∥AC, 则得 AB∥AC, 这与已知 AB∩AC=A 矛盾 , 故 A 错 ; 对于 B, 由题意得 BC⊥AC, 又 VA⊥ 平面 ABC,BC⊂ 平面 ABC, 所以 VA⊥BC, 而 AC∩VA=A, 所以 BC⊥ 平面 VAC,MN⊂ 平面 VAC, 所以 MN⊥BC, 故 B 错 ; 由此知 C 错 , 而 BC⊂ 平面 VBC, 故得平面 VAC⊥ 平面 VBC, 所以 D 正确 . 【 规律方法 】 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 (1) 借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 . (2) 借助空间几何模型 , 如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系 , 结合有关定理 , 进行肯定或否定 . (3) 借助于反证法 , 当从正面入手较难时 , 可利用反证法 , 推出与题设或公认的结论相矛盾的命题 , 进而作出判断 . 【 题组过关 】 1.(2016· 浙江高考 ) 已知互相垂直的平面 α,β 交于直线 l . 若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β , 则　 ( 　　 ) A.m∥ l 　　　　 B.m∥n 　　　 C.n⊥ l 　　　　 D.m⊥n 【 解析 】 选 C. 由题意知 , α∩β = l , 所以 l ⊂ β , 因为 n ⊥β , 所以 n⊥ l . 2.(2016· 太原一模 ) 若 α,β 是两个相交平面 , 则在下列命题中 , 真命题的序号为 ________.( 写出所有真命题的序号 ) ① 若直线 m⊥α , 则在平面 β 内 , 一定不存在与直线 m 平行的直线 ; ② 若直线 m⊥α , 则在平面 β 内 , 一定存在无数条直线与直线 m 垂直 ; ③ 若直线 m⊂α , 则在平面 β 内 , 不一定存在与直线 m 垂直的直线 ; ④ 若直线 m⊂α , 则在平面 β 内 , 一定存在与直线 m 垂直的直线 . 【 解析 】 对于① , 若直线 m ⊥α , 如果 α , β 互相垂直 , 则在平面 β 内 , 存在与直线 m 平行的直线 , 故①错误 ; 对于② , 若直线 m⊥α , 则直线 m 垂直于平面 α 内的所有直线 , 在平面 β 内存在无数条与交线平行的直线 , 这无数条直线均与直线 m 垂直 , 故②正确 ; 对于③ ,④, 若直线 m⊂α , 则在平面 β 内 , 一定存在与直线 m 垂直的直线 , 故③错误 ,④ 正确 . 答案 : ②④ 【 加固训练 】 1.(2015· 浙江高考 ) 设 α,β 是两个不同的平面 , l ,m 是两条不同的直线 , 且 l ⊂α,m⊂β 　 ( 　　 ) A. 若 l ⊥β , 则 α⊥β 　　　　 B. 若 α⊥β , 则 l ⊥m C. 若 l ∥β , 则 α∥β D. 若 α∥β , 则 l ∥m 【 解析 】 选 A. 选项 A 中 , 由平面与平面垂直的判定 , 故正确 ; 选项 B 中 , 当 α⊥β 时 , l ,m 可以垂直 , 也可以平行 , 也可以异面 ; 选项 C 中 , l ∥β 时 , α , β 可以相交 ; 选项 D 中 , α∥β 时 , l ,m 也可以异面 . 2. 设 l ,m 是两条不同的直线 , α,β 是两个不同的平面 , 给 出下列命题 : ① 若 l ∥ α,l ∥β , 则 α∥β ;② 若 l ∥α, l ⊥β , 则 α⊥ β;③ 若 α⊥β, l ⊥α , 则 l ∥β ;④ 若 α⊥β, l ∥α , 则 l ⊥β ;⑤ 若 l ∥α, l ∥β,α∩β =m, 则 l ∥m . 其中真命题 的个数为　 ( 　　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【 解析 】 选 B. ① 若 l ∥α , l ∥β , 则 α∥β 或相交 , 因此 是假命题 ; ② 若 l ∥α, l ⊥β , 根据线面垂直的判定定理可得 :α⊥ β, 是真命题 ;③ 若 α⊥β, l ⊥α , 则 l ∥β 或 l ⊂β , 因此 是假命题 ;④ 若 α⊥β, l ∥α , 则 l ⊥β 不正确 , 因此是假 命题 ;⑤ 若 l ∥α, l ∥β,α∩β =m, 则 l ∥m , 是真命题 . 其 中真命题的个数为 2. 3.(2015· 广东高考 ) 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线 , l 1 在平面 α 内 , l 2 在平面 β 内 , l 是平面 α 与平面 β 的交线 , 则下列命题正确的是　 ( 　　 ) A. l 至少与 l 1 , l 2 中的一条相交 B. l 与 l 1 , l 2 都相交 C. l 至多与 l 1 , l 2 中的一条相交 D. l 与 l 1 , l 2 都不相交 【 解析 】 选 A. 直线 l 1 和 l 2 是异面直线 , l 1 在平面 α 内 , l 2 在平面 β 内 , α∩β = l , 则 l 至少与 l 1 , l 2 中的一条相交 . 热点考向二 　空间平行、垂直关系的证明 命题解读 : 主要考查线面平行、垂直及面面平行、垂直的判定定理与性质定理 , 以解答题的形式出现 . 命题角度一　空间平行关系的证明 【 典例 2】 (2016· 资阳二模 ) 如图 , 在棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,AA 1 ⊥ 底面 ABCD, 底面 ABCD 为直角梯形 , 其中 AB∥CD, AB⊥AD,AB=AC=2CD=2,AA 1 = , 过 AC 的平面分别与 A 1 B 1 ,B 1 C 1 交于 E 1 ,F 1 , 且 E 1 为 A 1 B 1 的中点 . (1) 求证 : 平面 ACF 1 E 1 ∥ 平面 A 1 C 1 D. (2) 求证 :F 1 为 B 1 C 1 的中点 . (3) 求锥体 B-ACF 1 E 1 的体积 . 【 解题导引 】 (1) 连接 C 1 E 1 , 则可证四边形 A 1 D 1 C 1 E 1 是平行四边形 , 四边形 ACC 1 A 1 是平行四边形 , 故 AE 1 ∥DC 1 , AC∥A 1 C 1 , 于是由面面平行的判定定理得平面 ACF 1 E 1 ∥ 平面 A 1 C 1 D. (2) 由 E 1 为 A 1 B 1 的中点只需证明 A 1 C 1 ∥E 1 F 1 即可 . (3) 将棱锥分解成三棱锥 E 1 -ABC 和三棱锥 E 1 -BCF 1 , 分别计算两个小三棱锥的体积 . 【 规范解答 】 (1) 连接 C 1 E 1 , 因为棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,A 1 B 1 =2D 1 C 1 ,A 1 B 1 ∥C 1 D 1 , 又 E 1 为 A 1 B 1 的中点 , 则 A 1 E 1