【数学】2020届一轮复习人教A版第四章第6节正弦定理和余弦定理学案 16页

第6节　正弦定理和余弦定理 最新考纲　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos__C 常见 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. ‎ ‎3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 ‎[微点提醒]‎ ‎1.三角形中的三角函数关系 ‎(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；‎ ‎(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.‎ ‎2.三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.‎ ‎3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>‎ sin B⇔cos Asin B，则A>B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)‎ 解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.‎ ‎(3)已知三角时，不可求三边.‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，‎ 由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝.‎ 答案　C ‎3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.‎ 解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，‎ 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，‎ 即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.‎ 答案　等腰三角形或直角三角形 ‎4.(2018·沈阳质检)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)‎ A.2 B.1 C. D. 解析　由正弦定理＝，得＝，‎ ‎∴＝，∴b＝.‎ 答案　D ‎5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A.4 B. C. D.2 解析　由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.‎ 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，‎ 所以AB＝4.‎ 答案　A ‎6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是________.‎ 解析　由sin B＝2sin C，cos A＝，A为△ABC一内角 可得b＝2c，sin A＝＝，‎ ‎∴由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得8＝4c2＋c2－3c2，‎ 解得c＝2(舍负)，则b＝4.‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.‎ 答案　 考点一　利用正、余弦定理解三角形 ‎【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.‎ ‎(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝，‎ 结合b0，‎ 所以sin C0，所以cos B<0，‎ 即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.‎ ‎(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ 答案　(1)A　(2)B 规律方法　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.‎ ‎2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.‎ ‎【训练2】 若将本例(2)中条件变为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.‎ 解　∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，‎ ‎∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，‎ ‎∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，‎ ‎∴cos A(sin B－sin A)＝0，‎ ‎∴cos A＝0或sin B＝sin A，‎ ‎∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，‎ ‎∴△ABC为等腰或直角三角形.‎ 考点三　和三角形面积、周长有关的问题多维探究 角度1　与三角形面积有关的问题 ‎【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.‎ 解　(1)由sin A＋cos A＝0及cos A≠0，‎ 得tan A＝－，又00，∴sin A＝cos A，‎ 即tan A＝.‎ ‎∵00.‎ ‎∴cos A＝，即＝，则bc＝.‎ ‎∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.‎ 解析　由＝，得sin B＝sin A＝，‎ 又a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ ‎∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去).‎ 答案　　3‎ ‎7.(2019·合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.‎ 解析　根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，‎ 由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，‎ 所以S△ABC＝＝＝.‎ 答案　 ‎8.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________.‎ 解析　由＝⇒＝⇒a＝c，①‎ 由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②‎ 联立①，②得a＝5，且c＝2.‎ 由sin B＝且B为锐角知cos B＝，‎ 由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.‎ ‎(1)求∠A；‎ ‎(2)求AC边上的高.‎ 解　(1)在△ABC中，因为cos B＝－，‎ 所以sin B＝＝.‎ 由正弦定理得sin A＝＝.‎ 由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.‎ 所以∠A＝.‎ ‎(2)在△ABC中，‎ 因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，‎ 所以AC边上的高为asin C＝7×＝.‎ ‎10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.‎ ‎(1)若B＝，求A，C；‎ ‎(2)若C＝，c＝14，求S△ABC.‎ 解　(1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sin A－1＝0，‎ 于是sin A＝1或sin A＝－(舍).‎ 因为00，‎ 所以a－2b＝0，即a＝2b，②‎ 联立①②解得b＝2，a＝4.‎ 所以S△ABC＝absin C＝14.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋‎ acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)‎ A.4π B.8π C.9π D.36π 解析　由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2Rsin C＝2.‎ 又cos C＝及C∈(0，π)，知sin C＝.‎ ‎∴2R＝＝6，R＝3.‎ 故△ABC外接圆面积S＝πR2＝9π.‎ 答案　C ‎12.(2019·武汉模拟)在△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为(　　)‎ A.6sin＋3 B.6sin＋3‎ C.2sin＋3 D.2sin＋3‎ 解析　设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝2，于是BC＝2Rsin A＝‎ ‎2sin A，AC＝2Rsin B＝2sin.‎ 于是△ABC的周长为2＋3＝2sin＋3.‎ 答案　C ‎13.(2019·长春一模)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________.‎ 解析　因为cos A＝sin Acos C，‎ 所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，‎ 所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，‎ 所以＝，‎ 又＝，a＝2，‎ 所以＝，得tan A＝，‎ 又A∈(0，π)，则A＝，‎ 由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，‎ 即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，‎ 从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.‎ 答案　3 ‎14.(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.‎ 解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，‎ 得bsin A＝asin B，‎ 又由bsin A＝acos，‎ 得asin B＝acos，‎ 即sin B＝cos，‎ 可得tan B＝.‎ 又因为B∈(0，π)，可得B＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，‎ 有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.‎ 由bsin A＝acos，可得sin A＝.‎ 因为a