2020届二轮复习15直线与圆作业 8页

专题能力训练15　直线与圆 ‎　专题能力训练第36页　 ‎ 一、能力突破训练 ‎1.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为(　　)‎ A.x-‎‎3‎‎2‎‎2‎+y2=‎25‎‎4‎ B.x+‎‎3‎‎4‎‎2‎+y2=‎‎25‎‎16‎ C.x-‎‎3‎‎4‎‎2‎+y2=‎25‎‎16‎ D.x-‎‎3‎‎4‎‎2‎+y2=‎‎25‎‎4‎ 答案:C 解析:因为圆心在x轴的正半轴上,排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C.‎ ‎2.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.2‎5‎ C.‎3‎‎5‎‎5‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案:B 解析:由题意知圆心坐标为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h为圆心到直线的距离d=‎|2+2×3-3|‎‎1+(-2‎‎)‎‎2‎‎=‎‎5‎,底边长为l=2r‎2‎‎-‎d‎2‎=2‎9-5‎=4,所以S△ECF=‎1‎‎2‎×4×‎5‎=2‎5‎,故选B.‎ ‎3.已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A.[2,6] B.[4,8] ‎ C.[‎2‎,3‎2‎] D.[2‎2‎,3‎2‎]‎ 答案:A 解析:设圆心到直线AB的距离d=‎|2+0+2|‎‎2‎=2‎2‎.‎ 点P到直线AB的距离为d'.‎ 易知d-r≤d'≤d+r,即‎2‎≤d'≤3‎2‎.又|AB|=2‎2‎,‎ ‎∴S△ABP=‎1‎‎2‎·|AB|·d'=‎2‎d',∴2≤S△ABP≤6.‎ ‎4.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=asin x+bcos x+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是(　　)‎ A.1 B.2 C.‎3‎+1 D.3‎ 答案:B 解析:由题意知φ(a,b)=a‎2‎‎+‎b‎2‎+1,且a,b满足a2+b2-4a+3=0,即点(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1,a‎2‎‎+‎b‎2‎表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.‎ ‎5.已知两条直线l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,则a=　　　　　. ‎ 答案:0或‎1‎‎2‎ 解析:当a=0时,l1⊥l2;当a≠0时,由-‎1‎a·2a2=-1,解得a=‎1‎‎2‎,所以a=0或a=‎1‎‎2‎.‎ ‎6.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案:(x-1)2+y2=1‎ 解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据‎|3×1+4×0+2|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=1=r,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.‎ ‎7.(2019天津十二重点中学联考(二))已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且y轴和直线3x+4y+4=0均与圆C相切,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案:(x-2)2+y2=4‎ 解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0).‎ ‎∵直线3x+4y+4=0与圆C相切,‎ ‎∴‎|3a+4|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=a,解得a=2(舍去负值).‎ 故圆C的方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是　　　　　. ‎ 答案:‎26‎-1‎ 解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=‎(2-1‎)‎‎2‎+(5-0‎‎)‎‎2‎‎=‎‎26‎,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=‎26‎-1.‎ ‎9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-‎3‎y=4相切.‎ ‎(1)求圆O的方程;‎ ‎(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2‎3‎,求直线MN的方程;‎ ‎(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PA‎·‎PB的取值范围.‎ 解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-‎3‎y=4的距离,‎ 即r=‎4‎‎1+3‎=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.‎ ‎(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.‎ 则圆心O到直线MN的距离d=‎|m|‎‎5‎.‎ 由垂径定理,得m‎2‎‎5‎+(‎3‎)2=22,即m=±‎5‎.‎ 所以直线MN的方程为2x-y+‎5‎=0或2x-y-‎5‎=0.‎ ‎(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).‎ 由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,‎ 得‎(x+2‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎·‎‎(x-2‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=x2+y2,‎ 即x2-y2=2.‎ 因为PA‎·‎PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),‎ 且点P在圆O内,所以‎0≤x‎2‎+y‎2‎<4,‎x‎2‎‎-y‎2‎=2.‎ 由此得0≤y2<1.‎ 所以PA‎·‎PB的取值范围为[-2,0).‎ ‎10.已知圆O:x2+y2=4,点A(‎3‎,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.‎ ‎(1)求曲线Γ的方程;‎ ‎(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.‎ 解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+‎1‎‎2‎|AB|,即|AB|+2|OM|=4.‎ 取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,‎ 则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.‎ 所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=‎3‎,b=1,故曲线Γ的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)连接OB.因为B为CD的中点,‎ 所以OB⊥CD,即OB‎⊥‎AB.设B(x0,y0),‎ 则x0(x0-‎3‎)+y‎0‎‎2‎=0.‎ 又x‎0‎‎2‎‎4‎‎+‎y‎0‎‎2‎=1,解得x0=‎2‎‎3‎,y0=±‎2‎‎3‎.‎ 则kOB=±‎2‎‎2‎,kAB=∓‎2‎,‎ 则直线AB的方程为y=±‎2‎(x-‎3‎),‎ 即‎2‎x-y-‎6‎=0或‎2‎x+y-‎6‎=0.‎ ‎11.已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若OM‎·‎ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.‎ 解:(1)由题意可知直线l的方程为y=kx+1.‎ 因为l与C交于两点,所以‎|2k-3+1|‎‎1+‎k‎2‎<1,‎ 解得‎4-‎‎7‎‎3‎r,此时不满足直线与圆相交,舍去,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.‎ ‎(3)解点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|.‎ 又点B'到圆上点Q的最短距离为|B'C|-r=‎(-6‎)‎‎2‎+(-3‎‎)‎‎2‎‎-‎‎5‎=3‎5‎‎-‎‎5‎=2‎5‎,‎ 所以|PB|+|PQ|的最小值为2‎5‎,直线B'C的方程为y=‎1‎‎2‎x,则直线B'C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为‎-‎4‎‎3‎,-‎‎2‎‎3‎.‎