【数学】2018届一轮复习人教A版函数及其表示教案 16页

‎　‎ ‎1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．‎ ‎2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．‎ ‎3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．‎ 知识点一 函数与映射的概念 ‎ ‎1．函数的定义 一般地，设A，B是两个______的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有______确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作____________．‎ ‎2．映射的定义 设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．‎ 答案 ‎1．非空　唯一　y＝f(x)，x∈A ‎1．2016年是闰年，假设月份的集合A，每月的天数构成集合B，f是月份与天数的对应关系，其对应如下：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 天数 ‎31‎ ‎29‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ 对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？‎ 答案：是　不是 ‎2．给出下列各组函数：‎ ‎①f(x)＝x，f(x)＝；②f(x)＝x2，f(t)＝；‎ ‎③f(x)＝|x|，f(x)＝；④f(x)＝2lnx，f(x)＝lnx2.‎ 其中表示同一个函数的序号是________．‎ 解析：①中两个函数的定义域不同，不是同一个函数；②中两个函数的对应关系不同，不是同一个函数；③中的两个函数的对应关系和定义域都相同，是同一个函数；④中两个函数的定义域不同，不是同一个函数．‎ 答案：③‎ 知识点二　函数的三要素及表示方法 ‎ ‎1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的______________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______．显然，值域是集合B的子集．‎ ‎2．函数的三要素：________、______、________.‎ ‎3．表示函数的常用方法有：________、________、________.‎ 答案 ‎1．定义域　值域 ‎2．定义域　值域　对应关系 ‎3．解析法　图象法　列表法 ‎3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是(　　)‎ A．y＝x　　B．y＝lgx　　C．y＝2x　　D．y＝ 解析：函数y＝10lgx的定义域为(0，＋∞)，又当x>0时，y＝10lgx＝x，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D选项符合．‎ 答案：D ‎4．(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.‎ 解析：因为f(x)－f(a)＝x3＋3x2－a3－‎3a2，(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(‎2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，所以，解得a＝－2，b＝1.‎ 答案：－2　1‎ 知识点三　分段函数 ‎ 若函数在其定义域内，对于________的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．‎ 答案 自变量 ‎5．设f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)‎ A．－1 B. ‎ C. D. 解析：∵f(－2)＝，‎ ‎∴f(f(－2))＝f＝1－＝.‎ 答案：C ‎6．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝________.‎ 解析：当a>0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或a＝2.‎ 答案：－4或2‎ 热点一　函数的概念 ‎ ‎【例1】　有以下判断：‎ ‎①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；‎ ‎②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；‎ ‎③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；‎ ‎④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.‎ 其中正确判断的序号是________．‎ ‎【解析】　对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.‎ 综上可知，正确的判断是②③.‎ ‎【答案】　②③‎ ‎【总结反思】‎ 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).‎ ‎(1)下列四组函数中，表示同一函数的是(　　)‎ A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝ C．y＝4lgx与y＝2lgx2‎ D．y＝lgx－2与y＝lg ‎(2)下列所给图象是函数图象的个数为(　　)‎ A．1　　 　　B．‎2　‎　 　　C．3　　 　　D．4‎ 解析：(1)A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，答案选D.‎ ‎(2)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.‎ 答案：(1)D　(2)B 热点二 函数的定义域 ‎ 考向1　给定函数的定义域问题 ‎【例2】　(1)y＝－log2(4－x2)的定义域是(　　)‎ A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)‎ C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]‎ ‎(2)函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．‎ ‎【解析】　(1)要使函数有意义，必须 ∴x∈(－2,0)∪[1,2)．‎ ‎(2)由⇒⇒00，所以t>1，‎ 故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.‎ ‎2．若将本例(2)的条件改为“f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝‎2f·－‎1”‎，如何求解？‎ 解：在f(x)＝‎2f－1中，‎ 用代替x，得f＝‎2f(x)－1，‎ 将f＝－1代入f(x)＝‎2f－1中，‎ 可求得f(x)＝＋.‎ 即函数f(x)的解析式为f(x)＝＋，x∈(0，＋∞).‎ ‎【总结反思】‎ 函数解析式的求法 ‎(1)待定系数法：适合已知函数的类型(如一次函数、二次函数)．‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．‎ ‎(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．‎ ‎(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件将x换成或－x构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).‎ 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝‎2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.‎ 解析：当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，∴f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)，‎ 而f(x)＝f(x＋1)＝－x2－x.‎ ‎∴当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2－x.‎ 答案：－x2－x 热点四 分段函数 ‎ 考向1　分段函数求值 ‎【例5】　(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R，若f＝f，则f(‎5a)的值是________．‎ ‎【解析】　由题意可得f＝f＝－＋a，f＝f＝|－|＝，则－＋a＝，a＝，故f(‎5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.‎ ‎【答案】　－ 考向2　研究分段函数的性质 ‎【例6】　已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)‎ ‎【解析】　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1, 所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎【总结反思】‎ ‎1．分段函数的求值问题的解题思路 ‎(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．‎ ‎2．分段函数的方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.‎ ‎(1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎(2)(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1] B．[－2,0]‎ C．[0,2] D．[－2,2]‎ 解析：(1)若a≤1，则‎2a－1－2＝－3，整理得‎2a－1＝－1，由于2x>0，所以‎2a－1＝－1无解；‎ 若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.‎ ‎(2)依题意可知 或 解得a∈[－2,2]．‎ 答案：(1)A　(2)D ‎1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点 一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．‎ ‎2．定义域优先原则 函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．‎ ‎3．函数解析式的几种常用求法 待定系数法、换元法、配凑法、消去法．‎ ‎4．求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．‎ 新定义函数解法初探 在高考中，新定义函数问题主要包括两类：一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．‎ 一、概念型 概念型的新定义函数问题，主要以“新概念函数”为载体，利用新定义运算法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”，此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关性质的考查．‎ ‎【例1】　设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎【解析】　由题知，1≤t<2，≤t<，≤t<，…，≤t<，设t＝1＋x，x∈[0,1)，则1≤1＋x<2,2≤(1＋x)2<3,3≤(1＋x)3<4,4≤(1＋x)4<5,5≤(1＋x)5<6，而(1＋x)5＝(1＋x)2(1＋x)3>2×3＝6，矛盾，故n的最大值为4.结合选项可知，n的最大值较小，则采用特值法试图利用反证法求解是快速有效解题的关键．‎ ‎【答案】　B 二、性质型 函数的单调性是高考命题的重点和热点，命题者往往以函数单调性的多种等价变形为背景新定义一种函数，给出含有两个变量之间的一种不等关系．解决此类问题的关键是利用函数的单调性求解．‎ ‎【例2】　如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)>x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：‎ ‎①y＝－x3＋x＋1；　②y＝3x－2(sinx－cosx)；‎ ‎③y＝ex＋1；　④f(x)＝ 以上函数是“H函数”的是______．(填上所有正确的序号)‎ ‎【解析】　若函数f(x)为“H函数”，则有x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)>x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)，x1[f(x1)－f(x2)]>x2[f(x1)－f(x2)]，即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.‎ 所以“H函数”f(x)就是R上的单调递增函数．‎ ‎①y′＝－3x2＋1，由y′>0，解得－0，故该函数在R上是单调递增函数，即是“H函数”．‎ ‎③因为函数y＝ex在R上是单调递增函数，所以y＝ex＋1在R上也是单调递增函数，即是“H函数”．‎ ‎④f(x)＝＝故该函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以在R上不是单调递增函数，即不是“H函数”．‎ 综上，填②③.‎ ‎【答案】　②③‎