【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版10-5数学归纳法作业 6页

课时跟踪检测（五十六） 数学归纳法 一保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*) ”，当n＝1时，等式应为___________________．‎ 答案：1＋2＋3＋4＝ ‎2．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．‎ 解析：当n＝k(k∈N*)时，‎ 左式为(k＋1)(k＋2) ·…·(k＋k)；‎ 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，‎ 则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．‎ 答案：2(2k＋1)‎ ‎3．(2018·海门实验中学检测)数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．‎ 解析：计算出a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.‎ 答案：an＝n2‎ ‎4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为________．‎ 解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．‎ 答案：f(n)＝ ‎5．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值应取为n＝________.‎ 解析：不等式的左边＝＝2－，当n＜8时，不等式不成立，故起始值应取n＝8.‎ 答案：8‎ ‎6．平面内n(n∈N*)个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成f(n)个区域，则f(n)＝________.‎ 解析：因为f(1)＝2，f(n)－f(n－1)＝2(n－1)，则f(2)－f(1)＝2×1，f(3)－f(2)＝2×2，f(4)－f(3)＝2×3，……，f(n)－f(n－1)＝2(n－1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，即f(n)＝n2－n＋2.‎ 答案：n2－n＋2‎ ‎7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．‎ ‎(1)求r的值．‎ ‎(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．‎ 解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，‎ 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．‎ 由于b＞0且b≠1，‎ 所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．‎ 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，‎ 因为＝b，所以＝b，解得r＝－1.‎ ‎(2)证明：当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，‎ 故所证不等式为··…·＞.‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当n＝1时，左式＝，右式＝，‎ 左式＞右式，所以不等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，‎ 即··…·＞，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ··…··＞·＝，‎ 要证当n＝k＋1时结论成立，‎ 只需证≥，‎ 即证≥，‎ 由基本不等式，‎ 得＝≥，‎ 故≥成立，‎ 所以当n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②可知，对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．‎ ‎8．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为 (1，－1)．‎ ‎(1)求过点P1，P2的直线l的方程；‎ ‎(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．‎ 解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，‎ b2＝＝，a2＝1×＝，所以P2.‎ 所以直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．‎ 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1‎ ‎＝·(2ak＋1)＝＝＝1，‎ 所以当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．‎ 由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．‎ ‎9．已知数列，当n≥2时，an＜－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1＜an.‎ 证明：(1)当n＝1时，因为a2是a＋a2－1＝0的负根，‎ 所以a1＞a2.‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＜ak，‎ 因为a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1＜ak≤0，‎ 所以a－a＞0，‎ 又因为ak＋2＋ak＋1＋1＜－1＋(－1)＋1＝－1，‎ 所以ak＋2－ak＋1＜0，‎ 所以ak＋2＜ak＋1，即当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)(2)可知，当n∈N*时，an＋1＜an.‎ ‎10．(2019·南京模拟)把圆分成n(n≥3)个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有f(n)种方法．‎ ‎(1)写出f(3)，f(4)的值；‎ ‎(2)猜想f(n)(n≥3)，并用数学归纳法证明．‎ 解：(1)当n＝3时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第3个有2种方法，可得f(3)＝24；‎ 当n＝4时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个相同有1种方法，第四个有3种方法，‎ 或第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个不相同有2种方法，第四个有2种方法，‎ 可得f(4)＝36＋48＝84.‎ ‎(2)证明：当n≥4时，首先，对于第1个扇形a1，有4种不同的染法，由于第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同，所以，对于a2有3种不同的染法，类似地，对扇形a3，…，an－1均有3种染法．对于扇形an，用与an－1不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形a1颜色相同的情况，而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n－1)，于是可得f(n)＝4×3n－1－f(n－1)．‎ 猜想f(n)＝3n＋(－1)n·3(n≥3)．‎ ‎①当n＝3时，左边f(3)＝24，右边33＋(－1)3·3＝24，所以等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3)时，f(k)＝3k＋(－1)k·3，‎ 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝4×3k－f(k)＝4×3k－[3k＋(－1)k·3]＝3k＋1＋(－1)k＋1·3，‎ 即当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 综上，f(n)＝3n＋(－1)n·3(n≥3)．‎ 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2019·无锡中学检测)将正整数排成如图所示的三角形数阵，记第n行的n个数之和为an.‎ ‎(1)设Sn＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1(n∈N*)，计算S2，S3，S4的值，并猜想Sn的表达式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．‎ 解：(1)S1＝a1＝1，S2＝a1＋a3＝1＋4＋5＋6＝16，‎ S3＝S2＋a5＝16＋11＋12＋13＋14＋15＝81，‎ S4＝S3＋a7＝81＋22＋23＋…＋28＝256，‎ 猜想Sn＝n4.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，猜想成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时成立，即Sk＝k4，‎ 由题意可得，‎ an＝＋＋…＋ ‎＝n·＋＝，‎ ‎∴a2k＋1＝＝(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝4k3＋6k2＋4k＋1，‎ ‎∴Sk＋1＝Sk＋a2k＋1＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，‎ 即当n＝k＋1时猜想成立，‎ 由①②可知，猜想对任意n∈N*都成立．‎ ‎2．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝a－nan＋(n∈N*)．‎ ‎(1)计算a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式，并给出证明；‎ ‎(2)当n≥2时，试比较＋＋＋…＋与的大小关系．‎ 解：(1)a2＝4，a3＝7，a4＝10，‎ 猜想：an＝3n－2.‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，a1＝1，结论成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝3k－2，‎ 当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝a－kak＋k＝(3k－2)2－k(3k－2)＋k＝(9k2－12k＋4)－k2＋k＋k＝3k＋1，‎ 所以当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①②得数列{an}的通项公式为an＝3n－2(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)知an＝3n－2，‎ 当n＝2时，＋＋＝＋＋＝＞，‎ 当n＝3时，＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋＋＋＋ ‎＝＋＋ ‎＞＋＋ ‎＝＋＋＞＋＋＞.‎ 猜测：当n≥2，n∈N*时，＋＋＋…＋＞.‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝3时，结论成立，‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，＋＋＋…＋＞，‎ 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋ ‎＝ ‎＋ ‎＞＋ ‎＞＋－ ‎＝＋ ‎＝＋.‎ 由k≥3，可知3k2－7k－3＞0，‎ 所以＞0，‎ 即＋＋＋…＋＞.‎ 故当n＝k＋1时，不等式也成立，‎ 由①②可知，当n≥2时，＋＋＋…＋＞.‎