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- 2021-04-22 发布
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）．
A． B． C． D．
2.若实数满足，则的最小值是（ ）．
A．0 B．1 C． D．9
3.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
4.已知点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且满足，则的面积为（ ）．
A．1 B． C.2 D．4
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若，则；（2）若，且，则；
（3）若，则；（4）若，且，则．
其中正确命题的个数是（ ）．
A．1 B．2 C.3 D．4
6.若随机变量，则有如下结论：
高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）．
A．19 B．12 C.6 D．5
7.设函数的最小正周期为，且，则（ ）．
A．在单调递减
B．在单调递减
C. 在单调递增
D．在单调递增
8.按下图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）．
A．45 B．47 C.49 D．51
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A． B． C. 4 D．3
10.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）．
A． B． C. D．
11.如图，将绘有函数的部分图像的纸片沿轴折成直二面角，若之间的空间距离为，则（ ）．
A．-2 B．2 C. D．
12.设函数，（为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是（ ）．
A． B． C. D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上．）
13.已知圆方程为：，直线过点，且与圆交于两点，若
，则直线的方程是 ．
14.在的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中项的系数为 ．
15.已知函数和，作一条平行于轴的直线，交图像于两点，则的最小值为 ．
16.已知数列满足是其前项和，若，且，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，且，又成等差数列．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
18. （本小题满分12分）
随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：
年龄（单位：岁）
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
12
7
2
1
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2）若从年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
参考数据如下：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
.
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）
椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，且与椭圆有相同离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且椭圆上存在点，满足，（为坐标原点），求实数取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知定义域为的函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
22. （本小题满分10分）
已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且.
（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
试卷答案
一、选择题
1-5:BBDAB 6-10: CADBC 11、12：BD
二、填空题
13.或 14. 15. （或） 16.
三、解答题
17.解：（1）∵成等差数列，∴…………………1分
由正弦定理得，………………………3分
∴…………………………………………8分
∴，解得…………………………………………12分
18.解：（1）列联表如下：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
10
27
37
不赞成
10
3
13
合计
20
30
50
…………………………………………3分
所以，
……………………………………………………10分
所以的分布列是：
0
1
2
3
所以的期望值是……………………………12分
19.解：（1）∵平面平面，∴……………………………2分
∵，∴，∴，∴…………………4分
∵面面，∴面………………………………5分
∵面，∴面面…………………………………6分
（2）如图，建立空间直角坐标系：
，设，则，
，
∵面，∴为面的法向量，
设直线与面所成角为，则，
∴，∴……………………………………8分
设为面的法向量，则，∴，
∴可取，∴…………………………………9分
设为面的法向量，则，∴，
∴可取，∴，∴，
∴二面角的余弦值为………………………12分
20.解：（1）由已知可，解得，∴………………………3分
所求椭圆的方程……………………………………4分
（2）建立方程组，
消去，整理得，
∴，
由于直线与椭圆交于不同的两点，
∴，有，①………………………………………6分
设，于是，
，……………………………………8分
当时，易知点关于原点对称，则；
当时，易知点不关于原点对称，则，
此时，由，得，即，
∵点在椭圆上，∴，
化简得，∵，∴，②
由①②两式可得，∴且.
综上可得实数的取值范围是…………………………………………12分
21.解：，
①当时，，于是在上单调递减；
②当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）知在单调递减，
又，∴时，，即时，成立，
当时，由（1）知在上递减，在上递增，
当时，由，即得在上成立，
所以当时，有 ，
下面证明，即，
令，则，且，
记，则，
于是在上单调递增，
又因为，所以存在唯一的使得
，
从而，于是在上单调递减，在上单调递增，
此时，
从而，即，亦即，
因此不等式在上成立.
22.解：（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意知.由已知，有消去，整理得，又因为，解得，所以.
所以数列的通项公式为；数列的通项公式为.
（2）由（1）有，设的前项和为，则
上述两式相减得，
，
所以，.